Question

定義在R上的函數(shù)f(x)=

1

3

ax3+bx2+cx+2同時(shí)滿足以下條件：
①f（x）在（0，1）上是減函數(shù)，在（1，+∞）上是增函數(shù)；
②f′（x）是偶函數(shù)；
③f（x）在x=0處的切線與直線y=x+2垂直．
（Ⅰ）求函數(shù)y=f（x）的解析式；
（Ⅱ）設(shè)g（x）=[

1

3

x³-f（x）]•e^x，求函數(shù)g（x）在[m，m+1]上的最小值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）求導(dǎo)函數(shù)，可得f′（x）=ax²+2bx+c，根據(jù)R上的函數(shù)f(x)=

1

3

ax3+bx2+cx+2同時(shí)滿足的條件，列出方程組，從而可求函數(shù)y=f（x）的解析式；
（Ⅱ）求導(dǎo)函數(shù)，確定函數(shù)的單調(diào)性，再結(jié)合區(qū)間，進(jìn)行分類討論，即可求得g（x）在[m，m+1]上的最小值．

解答：解：（Ⅰ）求導(dǎo)函數(shù)，可得f′（x）=ax²+2bx+c…（1分）
由題意知

f′(1)=0 f′(0)=-1 2b=0

，即

a+2b+c=0 c=-1 b=0

解得

a=1 b=0 c=-1

．…（4分）
所以函數(shù)y=f（x）的解析式為f(x)=

1

3

x3-x+2．…（5分）
（Ⅱ）g(x)=(

1

3

x3-f(x))  ex=（x-2）e^x，∴g′（x）=（x-1）e^x．
令g′（x）=0得x=1，所以函數(shù)g（x）在（-∞，1）遞減，在（1，+∞）遞增..…（7分）
當(dāng)m≥1時(shí)，g（x）在[m，m+1]單調(diào)遞增，y_min=g（m）=（m-2）e^m…（9分）
當(dāng)m＜1＜m+1，即0＜m＜1時(shí)，g（x）在[m，1]單調(diào)遞減，在[1，m+1]單調(diào)遞增，y_min=g（1）=-e..…（10分）
當(dāng)m+1≤1，即m≤0時(shí)，g（x）在[m，m+1]單調(diào)遞減，y_min=g（m+1）=（m-1）e^m+1．…．（12分）
綜上，g（x）在[m，m+1]上的最小值y_min=

(m-2)em，m≥1 -e，0＜m＜1 (m-1)em+1，m≤0

．…（13分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查導(dǎo)數(shù)知識(shí)的運(yùn)用，考查函數(shù)的單調(diào)性，考查分類討論的數(shù)學(xué)思想，解題的關(guān)鍵是確定函數(shù)的單調(diào)性．