Question

已知函數(shù)f（x）=x（a+lnx）有極小值-e^-2．
（Ⅰ）求實數(shù)a的值；
（Ⅱ）若k∈Z，且k＜

f(x)

x-1

對任意x＞1恒成立，求k的最大值．

Answer 1

（Ⅰ）因為函數(shù)的定義域為（0，+∞），
函數(shù)的導(dǎo)數(shù)為f'（x）=1+a+lnx，由f'（x）=1+a+lnx=0，
解得x=e^-1-a，即當(dāng)x=e^-1-a，時，函數(shù)取得極小值-e^-2．
即f（e^-1-a）=e^-1-a（a-1-a）=-e^-1-a=-e^-2，
所以解的a=1，即實數(shù)a的值為1．
（Ⅱ）當(dāng)a=1時，f（x）=x（1+lnx），所以設(shè)g(x)=

f(x)

x-1

=

x+xlnx

x-1

，
則g′(x)=

x-2-lnx

(x-1)2

．
令h（x）=x-2-lnx，x＞1．
因為h′(x)=1-

1

x

=

x-1

x

＞0，所以函數(shù)h（x）在（1，+∞）上單調(diào)遞增，
又h（3）=1-ln3＜0，h（4）=2-ln4=2-2ln2＞0，
所以h（x）在（1，+∞）上存在唯一的一個實數(shù)根x₀，滿足x₀∈（3，4），且h（x₀）=0
，即x₀-2-ln?x₀=0，所以lnx₀=x₀-2．
當(dāng)x∈（1，x₀）時，h（x）＜0，此時g'（x）＜0，
當(dāng)x∈（x₀，+∞）時，h（x）＞0，此時g'（x）＞0．
所以g′(x)=

x-2-lnx

(x-1)2

在x∈（1，x₀）時，單調(diào)遞減，在x∈（x₀，+∞）上單調(diào)遞增，
所以.g(x)min=g(x0)=

x0+x0lnx0

x0-1

=

x0+x0(x0-2)

x0-1

=

x0(x0-1)

x0-1

=x0∈（3，4）．
所以要使k＜

f(x)

x-1

對任意x＞1恒成立，則k＜g（x）_min?=x₀∈（3，4），
因為k∈Z，所以要k≤3，即k的最大值為3．