Question

已知數(shù)列{a_n}的前n項和為S_n，滿足關(guān)系式（2+t）S_n+1-tS_n=2t+4（t≠-2，t≠0，n=1，2，3，…）．
（Ⅰ）當(dāng)a₁為何值時，數(shù)列{a_n}是等比數(shù)列；
（Ⅱ）在（Ⅰ）的條件下，設(shè)數(shù)列{a_n}的公比為f（t），作數(shù)列{b_n}使b₁=1，b_n=f（b_n-1）（n=2，3，4，…），求b_n；
（Ⅲ）在（Ⅱ）條件下，如果對一切n∈N₊，不等式恒成立，求實數(shù)c的取值范圍．

Answer 1

解：（Ⅰ）（2+t）S_n+1-tS_n=2t+4①n≥2時，（2+t）S_n-tS_n-1=2t+4②
兩式相減：（2+t）（S_n+1-S_n）-t（S_n-S_n-1）=0，（2+t）a_n+1-ta_n=0，．即n≥2時，為常數(shù)．（2分）
當(dāng)n=1時，（2+t）S₂-tS₁=2t+4，（2+t）（a₂+a₁）-ta₁=2t+4，解得．
要使{a_n}是等比數(shù)列，必須．∴，解得a₁=2．（5分）
（Ⅱ）由（1）得，，因此有，
即，整理得．
則數(shù)列是首項為=2，公比為2的等比數(shù)列，，．（10分）
（Ⅲ）把，代入得：，
即，
要使原不等式恒成立，c必須比上式右邊的最大值大．∵=，
∴的值隨n的增大而減�。畡t當(dāng)n=1時，取得最大值4．
因此，實數(shù)c的取值范圍是c＞4．（14分）
分析：（Ⅰ）由（2+t）S_n+1-tS_n=2t+4，知（2+t）（S_n+1-S_n）-t（S_n-S_n-1）=0，所以為常數(shù)．當(dāng)n=1時，（2+t）S₂-tS₁=2t+4，（2+t）（a₂+a₁）-ta₁=2t+4，解得．要使{a_n}是等比數(shù)列，必須，由此能求出a₁．
（Ⅱ）由，知，即．由此能求出b_n．
（Ⅲ）把，代入得：，即，要使原不等式恒成立，c必須比上式右邊的最大值大由此入手，能求出實數(shù)c的取值范圍．
點評：本題考查數(shù)列的性質(zhì)和應(yīng)用，解題時要認(rèn)真審題，注意公式的合理運用．