Question

已知數(shù)列{a_n滿足a₁=，且對任意n∈N*，都有=．
（Ⅰ）求證：數(shù)列{}為等差數(shù)列，并求{a_n}的通項公式；
（Ⅱ）試問數(shù)列{a_n}中a_k•a_k+1是否仍是{a_n}中的項？如果是，請指出是數(shù)列的第幾項；如果不是，請說明理由．

Answer 1

解：（Ⅰ）∵a_na_n+1+2a_n=4a_na_n+1+2a_n+1，2a_n-2a_n+1=3a_na_n+1，
∴，
所以數(shù)列是為首項，公差的等差數(shù)列． …（4分）
可得數(shù)列的通項公式，所．…（6分）
（Ⅱ）=． …（8分）
因為，…（10分）
k是正整數(shù)時，一定是正整數(shù)，所以是正整數(shù)．
（也可以從k的奇偶性來分析）
所以a_k•a_k+1是數(shù){a_n}中的項，是項． …（12分）
分析：（Ⅰ）通過對已知條件的轉(zhuǎn)化，可以得到，所以數(shù)列是為首項，公差的等差數(shù)列，繼而可求a_n
（Ⅱ）得到之后，a_k•a_k+1==，再去判斷就容易了．
點評：本題考查數(shù)列的遞推關(guān)系，解題的關(guān)鍵是對條件合理轉(zhuǎn)化，通過轉(zhuǎn)化后可求a_n，從而可以判斷a_k•a_k+1是否為數(shù)列a_n中的項．