Question

如圖，在三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，側(cè)棱垂直于底面，AB⊥BC，E、F分別為A₁C₁和BC的中點(diǎn)．
（1）求證：平面ABE⊥平面B₁BCC₁；
（2）求證：C₁F∥平面ABE．

Answer 1

考點(diǎn)：平面與平面垂直的判定,直線與平面平行的判定

專題：空間位置關(guān)系與距離

分析：（1）通過證明AB⊥平面B₁BCC₁，利用平面與平面垂直的判定定理證明平面ABE⊥平面B₁BCC₁；
（2）取AC的中點(diǎn)G，連結(jié)C₁G、FG，通過證明平面C₁GF∥平面EAB，利用平面與平面平行的性質(zhì)定理證明C₁F∥平面ABE．

解答： 證明：（1）∵BB₁⊥平面ABC，AB?平面ABC，
∴AB⊥BB₁ 又AB⊥BC，BB₁∩BC=B，
∴AB⊥平面B₁BCC₁
而AB?平面ABE，
∴平面ABE⊥平面B₁BCC₁
（2）取AC的中點(diǎn)G，連結(jié)C₁G、FG，
∵F為BC的中點(diǎn)，
∴FG∥AB又E為A₁C₁的中點(diǎn)∴C₁E∥AG，且C₁E=AG
∴四邊形AEC₁G為平行四邊形，
∴AE∥C₁G
∴平面C₁GF∥平面EAB，
而C₁F?平面C₁GF，
∴C₁F∥平面EAB．

點(diǎn)評：本題考查仔細(xì)與平面垂直，平面與平面垂直的判定定理以及平面與平面平行的性質(zhì)定理的應(yīng)用，考查空間想象能力以及邏輯推理能力．