Question

2．已知函數(shù)f（x）=log₃$\frac{2{x}^{2}+bx+c}{{x}^{2}+1}$的值域為[0，1]，則b與c的和為0或4．

Answer 1

分析 根據(jù)f（x）的值域為[0，1]，及對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性便可得到$1≤\frac{2{x}^{2}+bx+c}{{x}^{2}+1}≤3$，可設(shè)$y=\frac{2{x}^{2}+bx+c}{{x}^{2}+1}$，可整理成關(guān)于x的一元二次方程的形式：（y-2）x²-bx+y-c=0，方程有解，從而便有△≥0，從而得到4y²-（4c+8）y+8c-b²≤0，根據(jù)1≤y≤3便知1，3為方程4y²-（4c+8）y+8c-b²=0的兩實數(shù)根，由韋達定理即可求出b，c，從而可以得出b與c的和．

解答 解：由0≤f（x）≤1得：
$1≤\frac{2{x}^{2}+bx+c}{{x}^{2}+1}≤3$；
設(shè)y=$\frac{2{x}^{2}+bx+c}{{x}^{2}+1}$，整理成：
（y-2）x²-bx+y-c=0，看成關(guān)于x的一元二次方程，方程有解；
∴△=b²-4（y-2）（y-c）≥0；
即4y²-（4c+8）y+8c-b²≤0；
則1，3是方程4y²-（4c+8）y+8c-b²=0的兩實根；
∴$\left\{\begin{array}{l}{1+3=c+2}\\{1•3=\frac{8c-^{2}}{4}}\end{array}\right.$；
∴$\left\{\begin{array}{l}{b=±2}\\{c=2}\end{array}\right.$；
∴b+c=0或4．
故答案為：0或4．

點評 考查函數(shù)值域的概念，對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性，單調(diào)性定義的運用，以及一元二次方程有解時，判別式△的取值情況，韋達定理．