Question

已知定理：“若a，b為常數(shù)，g（x）滿足g（a+x）+g（a-x）=2b，則函數(shù)y=g（x）的圖象關于點（a，b）中心對稱”．設函數(shù)f(x)=

x+1-a

a-x

，定義域為A．
（1）試證明y=f（x）的圖象關于點（a，-1）成中心對稱；
（2）當x∈[a-2，a-1]時，求證：f(x)∈[-

1

2

， 0]；
（3）對于給定的x₁∈A，設計構造過程：x₂=f（x₁），x₃=f（x₂），…，x_n+1=f（x_n）．如果x_i∈A（i=2，3，4…），構造過程將繼續(xù)下去；如果x_i∉A，構造過程將停止．若對任意x₁∈A，構造過程都可以無限進行下去，求a的值．

Answer 1

（1）∵f(x)=-1+

1

a-x

，∴f(a+x)+f(a-x)=(-1+

1

-x

)+(-1+

1

x

)=-2．
由已知定理，得y=f（x）的圖象關于點（a，-1）成中心對稱．（3分）
（2）先證明f（x）在[a-2，a-1]上是增函數(shù)，只要證明f（x）在（-∞，a）上是增函數(shù)．
設-∞＜x₁＜x₂＜a，則f(x1)-f(x2)=

1

a-x1

-

1

a-x2

=

x1-x2

(a-x1)(a-x2)

＜0，
∴f（x）在（-∞，a）上是增函數(shù)．再由f（x）在[a-2，a-1]上是增函數(shù)，得
當x∈[a-2，a-1]時，f（x）∈[f（a-2），f（a-1）]，即f(x)∈[-

1

2

， 0]．（7分）
（3）∵構造過程可以無限進行下去，∴f(x)=

x+1-a

a-x

≠a對任意x∈A恒成立．
∴方程

x+1-a

a-x

=a無解，即方程（a+1）x=a²+a-1無解或有唯一解x=a．
∴

a+1=0 a2+a-1≠0

或

a+1≠0 a2+a-1 a+1 =a

由此得到a=-1（13分）