Question

設(shè)數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和為S_n，且a₁=1，S_n=na_n-

3

2

n（n-1），n∈N^*．
（1）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（2）是否存在自然數(shù)n，使S₁+

S2

2

+

S3

3

+…+

Sn

n

=63？若存在，求出n的值；若不存在，說明理由．

Answer 1

分析：（1）再寫一式，兩式相減，可得a_n-a_n-1=3，即數(shù)列{a_n}是首項(xiàng)為1，公差為3的等差數(shù)列，由此能求出數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（2）確定數(shù)列{

Sn

n

}是以1為首項(xiàng)，

3

2

為公差的等差數(shù)列，利用等差數(shù)列的求和公式，即可求得結(jié)論．

解答：解：（1）∵S_n=na_n-

3

2

n（n-1），
∴n≥2時(shí)，S_n-1=（n-1）a_n-1-

3

2

（n-1）（n-2），
∴兩式相減可得：a_n-a_n-1=3，
∴數(shù)列{a_n}是首項(xiàng)為1，公差為3的等差數(shù)列，
∴a_n=1+（n-1）•3=3n-2；
（2）S_n=na_n-

3

2

n（n-1）=

3

2

n2-

1

2

n，∴

Sn

n

=

3

2

n-

1

2

∴數(shù)列{

Sn

n

}是以1為首項(xiàng)，

3

2

為公差的等差數(shù)列
∴S₁+

S2

2

+

S3

3

+…+

Sn

n

=n+

3n(n-1)

4

=

3n2+n

4

令

3n2+n

4

=63，則n=9．

點(diǎn)評(píng)：本題考查數(shù)列遞推式，考查等差數(shù)列的判定，考查學(xué)生的計(jì)算能力，屬于中檔題．