Question

已知函數(shù)．
（Ⅰ）證明：f（x）在（-∞，+∞）上是增函數(shù)；
（Ⅱ）證明：對于任意不小于3的自然數(shù)n，都有f（n）＞．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）設(shè)x₁，x₂為任意兩個實數(shù)，且x₁＜x₂，而f（x）==1-，利用作差證明f（x₂）＞f（x₁）即可；
（Ⅱ）要證f（n）＞（n∈N，n≥3），即要證1-，即要證2ⁿ-1＞2n（n≥3）．用數(shù)學(xué)歸納法即可證明；
解答：（Ⅰ）證明：設(shè)x₁，x₂為任意兩個實數(shù)，且x₁＜x₂，
f（x）==1-，
f（x₂）-f（x₁）==，
由指數(shù)函數(shù)性質(zhì)知，＞0，＞0，
∴f（x₂）-f（x₁）＞0，
故f（x）在（-∞，+∞）上是增函數(shù)；
（Ⅱ）要證f（n）＞（n∈N，n≥3），即要證1-，
即要證2ⁿ-1＞2n（n≥3）．①
現(xiàn)用數(shù)學(xué)歸納法證明①式．
（1）當n=3時，左邊=2³-1=7，右邊=2×3=6，
∴左邊＞右邊，因而當n=3時①式成立．
（2）假設(shè)當n=k（k≥3）時①式成立，即有2^k-1＞2k，那么
2^k+1-1=2•2^k-1=2（2^k-1）+1＞2•2k+1=2（k+1）+（2k-1），
∵k≥3，∴2k-1＞0．
∴2^k+1-1＞2（k+1）．
這就是說，當n=k+1時①式成立．
根據(jù)（1）（2）可知，①式對于任意不小于3的自然數(shù)n都成立．
由此有f（n）＞．（n≥3，n∈N）．
點評：本小題考查指數(shù)函數(shù)，數(shù)學(xué)歸納法，不等式證明等知識以及綜合運用有關(guān)知識解決問題的能力．