定義在區(qū)間(－1，1)上的函數(shù)f(x)滿足：①對任意的x，y∈(－1，1)，都有f(x)＋f(y)＝f；②當(dāng)x∈(－1，0)，f(x)＞0．

(1)求證f(x)為奇函數(shù)；

(2)試解不等式：f(x)＋f(x－1)＞f．

答案：
解析：

　　解：(1)解：令x＝y＝0，則

　　f(0)＋f(0)＝

　　∴f(0)＝0

　　令x∈(－1，1)　∴－x∈(－1，1)

　　∴f(x)＋f(－x)＝f()＝f(0)＝0

　　∴f(－x)＝－f(x)

　　∴f(x)在(－1，1)上為奇函數(shù)　4分

　　(2)解：令－1＜x1＜x2＜1

　　則f(x1)－f(x2)＝f(x1)＋f(－x2)＝

　　∵x1－x2＜0，1－x1x2＞0

　　∴　∴＞0

　　∴f(x1)＞f(x2)　∴f(x)在(－1，1)上為減函數(shù)

　　又f(x)＋f(x－1)＞

　　　8分

　　∴不等式化為

　　或

　　∴不等式的解集為　12分


練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

定義在區(qū)間[-1，1]上的奇函數(shù)f（x）滿足：對任意a，b∈[-1，1]，a+b≠0，都有
f(a)+f(b)a+b
＜0，f（1）=-3．
（1）證明：f（x）在[-1，1]上是減函數(shù)；
（2）解不等式：f（x+1）+f（x2-1）＞0；
（3）若不等式f（x）≤m2+2am對任意x，a∈[-1，1]恒成立，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

已知f（x）是定義在區(qū)間[-1，1]上的奇函數(shù)，且f（1）=1，若m，n∈[-1，1]，m≠n時(shí)，有數(shù)學(xué)公式
（1）若滿足f（x+數(shù)學(xué)公式）+f（x-1）＜0，求x的取值范圍
（2）若f（x）≤t2-2at+1對任意的x∈[-1，1]，a∈[-1，1]恒成立，求實(shí)數(shù)t的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

20.設(shè)y=f（x）是定義在區(qū)間［－1，1］上的函數(shù)，且滿足條件：

（ⅰ）f（－1）=f（1）=0;

（ⅱ）對任意的u，v∈［－1，1］，都有|f（u）－f（v）|≤|u－v|.

（Ⅰ）證明：對任意的x∈［－1，1］，都有x－1≤f（x）≤1－x;

（Ⅱ）證明：對任意的u,v∈［－1，1］,都有|f（u）－f（v）|≤1；

（Ⅲ）在區(qū)間［－1，1］上是否存在滿足題設(shè)條件的函數(shù)y=f（x），且使得

若存在，請舉一例；若不存在，請說明理由.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

20.設(shè)y=f（x）是定義在區(qū)間［－1，1］上的函數(shù)，且滿足條件：

（�。�f（－1）=f（1）=0；

（ⅱ）對任意的u，v∈［－1，1］，都有|f（u）－f（v）|≤|u－v|.

（Ⅰ）證明：對任意的x∈［－1，1］，都有x－1≤f（x）≤1－x；

（Ⅱ）判斷函數(shù)g（x）=，是否滿足題設(shè)條件；

（Ⅲ）在區(qū)間［－1，1］上是否存在滿足題設(shè)條件的函數(shù)y=f（x），且使得對任意的u，v∈［－1，1］，都有|f（u）－f（v）|=|u－v|.

若存在，請舉一例；若不存在，請說明理由.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：2013-2014學(xué)年安徽省安慶市望江中學(xué)高三（上）第一次月考數(shù)學(xué)試卷（理科）（解析版） 題型：解答題

已知f（x）是定義在區(qū)間[-1，1]上的奇函數(shù)，且f（1）=1，若m，n∈[-1，1]，m≠n時(shí)，有
（1）若滿足f（x+）+f（x-1）＜0，求x的取值范圍
（2）若f（x）≤t2-2at+1對任意的x∈[-1，1]，a∈[-1，1]恒成立，求實(shí)數(shù)t的取值范圍．

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