Question

【題目】已知函數(shù).

（1）若是函數(shù)的一個極值點， 和1是的兩個零點，且，求的值；

（2）若，且是的兩個極值點，求證：當時， .

Answer 1

【答案】（1）（2）見解析

【解析】試題分析：（1）求導數(shù)，代入，1是的零點，所以求出，然后求得在遞增，在遞減，利用零點存在性確定；（2）令，則，令，利用導數(shù)研究單調(diào)性，求其最小值．

試題解析：（1）由，得，

因為是函數(shù)一個極值點，1是的零點，所以，

即，解得，

于是，

令，由，解得，

則當時， ；當時， ，

于是在遞增，在遞減，

因為和1是的兩個零點，且，所以，

又因為，所以，則．

（2）由，得，

則，

由是的兩個極值點，得是方程的兩根1和．

不妨令，則，即，

由，得，即，由，解得，此時，

于是當時， ；當時， ；當時， ，

所以在上遞減，在遞增，在遞減．

于是在處取極小值，在處取極大值．

從而，

令，則，

令，則，

令，則，

因為，所以，則遞增，所以，

即，所以遞增，

于是，即．