Question

已知函數(shù)f（x）=x|x-a|+2x．
（1）若函數(shù)f（x）在R上是增函數(shù)，求實數(shù)a的取值范圍；
（2）求所有的實數(shù)a，使得對任意x∈[1，2]時，函數(shù)f（x）的圖象恒在函數(shù)g（x）=2x+1圖象的下方；
（3）若存在a∈[-4，4]，使得關于x的方程f（x）=tf（a）有三個不相等的實數(shù)根，求實數(shù)t的取值范圍．

Answer 1

【答案】分析：（1）由題意知f（x）在R上是增函數(shù)，則即-2≤a≤2，則a范圍．
（2）由題意得對任意的實數(shù)x∈[1，2]，f（x）＜g（x）恒成立，即，，，故只要且在x∈[1，2]上恒成立即可，在x∈[1，2]時，只要的最大值小于a且的最小值大于a即可．由此可知答案．
（3）當-2≤a≤2時，f（x）在R上是增函數(shù)，則關于x的方程f（x）=tf（a）不可能有三個不等的實數(shù)根存在a∈（2，4]，方程f（x）=tf（a）=2ta有三個不相等的實根，則，即存在a∈（2，4]，使得即可，由此可證出實數(shù)t的取值范圍為．
解答：解：（1）
由f（x）在R上是增函數(shù)，則即-2≤a≤2，則a范圍為-2≤a≤2；（4分）
（2）由題意得對任意的實數(shù)x∈[1，2]，f（x）＜g（x）恒成立，
即x|x-a|＜1，當x∈[1，2]恒成立，即，，，故只要且在x∈[1，2]上恒成立即可，
在x∈[1，2]時，只要的最大值小于a且的最小值大于a即可，（6分）
而當x∈[1，2]時，，為增函數(shù)，；
當x∈[1，2]時，，為增函數(shù)，，
所以；（10分）
（3）當-2≤a≤2時，f（x）在R上是增函數(shù)，則關于x的方程f（x）=tf（a）不可能有三個不等的實數(shù)根；（11分）
則當a∈（2，4]時，由得x≥a時，f（x）=x²+（2-a）x對稱軸，
則f（x）在x∈[a，+∞）為增函數(shù)，此時f（x）的值域為[f（a），+∞）=[2a，+∞），x＜a時，f（x）=-x²+（2+a）x對稱軸，
則f（x）在為增函數(shù)，此時f（x）的值域為，f（x）在為減函數(shù)，此時f（x）的值域為；
由存在a∈（2，4]，方程f（x）=tf（a）=2ta有三個不相等的實根，則，
即存在a∈（2，4]，使得即可，令，
只要使t＜（g（a））_max即可，而g（a）在a∈（2，4]上是增函數(shù)，，
故實數(shù)t的取值范圍為；（15分）
同理可求當a∈[-4，-2）時，t的取值范圍為；
綜上所述，實數(shù)t的取值范圍為．（16分）
點評：本題考查函數(shù)性質(zhì)的綜合應用，解題時要認真審題．