Question

（2013•內(nèi)江二模）已知?jiǎng)訄AP過(guò)定點(diǎn)F(0，-

2

)，且與直線l相切，橢圓N的對(duì)稱軸為坐標(biāo)軸，一個(gè)焦點(diǎn)是F，點(diǎn)A(1，

2

)在橢圓N上．
（1）求動(dòng)圓圓心P的軌跡M的方程和橢圓N的方程；
（2）已知與軌跡M在x=-4處的切線平行的直線與橢圓N交于B、C兩點(diǎn)，試探求使△ABC面積等于

3

2

的直線l是否存在？若存在，請(qǐng)求出直線l的方程；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)拋物線的定義，結(jié)合題意可得P的軌跡M是以F為焦點(diǎn)、直線y=

2

為準(zhǔn)線的拋物線，由拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程形式即可算出動(dòng)圓圓心P的軌跡M的方程．根據(jù)橢圓的定義算出2a=4，結(jié)合c=

2

算出b²=a²-c²=2，即可得到橢圓N的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）假設(shè)存在滿足條件的直線l，根據(jù)拋物線在x=-4處切線的斜率為-4

2

，因此設(shè)直線l方程為y=

2

x+m，與拋物線方程消去y得4x²+2

2

mx+m²-4=0．由根與系數(shù)的關(guān)系結(jié)合弦長(zhǎng)公式算出|BC|=

3

•

4- 1 2 m2

，再算出點(diǎn)A到直線l的距離d=

|m|

3

，結(jié)合△ABC面積等于

3

2

建立關(guān)于m的方程，化簡(jiǎn)整理得到m⁴-8m²+18=0，由于此方程沒(méi)有實(shí)數(shù)解，所以得不存在滿足條件的直線l．

解答：解：（1）由題意，可得
∵點(diǎn)P到定點(diǎn)F（0，-

2

）與P到直線y=

2

的距離相等
∴點(diǎn)P的軌跡M是以F為焦點(diǎn)、直線y=

2

為準(zhǔn)線的拋物線
設(shè)拋物線方程為x²=-2py，可得

p

2

=

2

，得2p=4

2

，
由此可得動(dòng)圓圓心P的軌跡M的方程為拋物線x²=-4

2

y
設(shè)橢圓N的方程為

y2

a2

+

x2

b2

=1(a＞b＞0)
根據(jù)橢圓的定義，可得2a=

(1-0)2+( 2 + 2 )2

+

(1-0)2+( 2 - 2 )2

=4
∴a=2，結(jié)合c=

2

可得b²=a²-c²=2，可得橢圓N的方程為

y2

4

+

x2

2

=1；
（2）假設(shè)存在滿足條件的直線l，
∵P的軌跡M的方程為拋物線x²=-4

2

y，
∴拋物線在x=-4處的切線的斜率k=

2

，因此可設(shè)直線l方程為y=

2

x+m
由

y= 2 x+m y2 4 + x2 2 =1

消去y，化簡(jiǎn)得4x²+2

2

mx+m²-4=0
∴△=（2

2

m）²-16（m²-4）＞0，解之得m²＜8且m≠0
設(shè)B（x₁，y₁），C（x₂，y₂），可得x₁+x₂=-

2

2

m，x₁x₂=

m2-4

4

由兩點(diǎn)之間的距離公式，得|BC|=

3

•

4- 1 2 m2

又∵點(diǎn)A到直線l的距離d=

|m|

3

，∴

1

2

×

3

•

4- 1 2 m2

•

|m|

3

=

3

2

化簡(jiǎn)整理，得m⁴-8m²+18=0，此方程沒(méi)有實(shí)數(shù)解．
因此可得：不存在與拋物線在x=-4處的切線平行的直線l，使△ABC面積等于

3

2

．

點(diǎn)評(píng)：本題給出動(dòng)圓圓心P滿足的條件，求P的軌跡方程并依此探討是否存在與拋物線在x=-4處的切線平行的直線l，使△ABC面積等于

3

2

的問(wèn)題．著重考查了軌跡方程的求法、橢圓、拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程與簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)、一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系和直線與圓錐曲線的位置關(guān)系等知識(shí)點(diǎn)，屬于中檔題．