Question

如圖，P是拋物線C：y=x²上一點(diǎn)，直線l過(guò)點(diǎn)P并與拋物線C在點(diǎn)P的切線垂直，l與拋物線C相交于另一點(diǎn)Q，
（Ⅰ）當(dāng)點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為2時(shí)，求直線l的方程；
（Ⅱ）當(dāng)點(diǎn)P在拋物線C上移動(dòng)時(shí)，求線段PQ中點(diǎn)M的軌跡方程，并求點(diǎn)M到x軸的最短距離。

Answer 1

解：（Ⅰ）把x=2代入，得y=2，
∴點(diǎn)P坐標(biāo)為（2，2），
由， ① 得y′=x，
∴過(guò)點(diǎn)P的切線的斜率=2，直線l的斜率k_l=，
∴直線l的方程為y-2=-(x-2)，即x+2y-6=0；
（Ⅱ）設(shè)，則，
∵過(guò)點(diǎn)P的切線斜率=x₀，當(dāng)x₀=0時(shí)不合題意，x₀≠0，
∴直線l的斜率k_l=，
直線l的方程為，②
 聯(lián)立①②消去y，得，
設(shè)，
∵M(jìn)是PQ的中點(diǎn)，
∴，
消去x₀，得就是所求的軌跡方程，
由x≠0知，
∴，
上式等號(hào)僅當(dāng)即時(shí)成立，
所以點(diǎn)M到x軸的最短距離是。