Question

已知函數(shù)f（x）=x³-tx²+3x，若對于任意的a∈[1，2]，b-a=1，函數(shù)f（x）在區(qū)間（a，b）上單調(diào)遞減，則實數(shù)t的取值范圍是（ ）
A．（-∞，3]
B．（-∞，5]
C．[3，+∞）
D．[5，+∞）

Answer 1

【答案】分析：由f（x）在區(qū)間（a，b）上單調(diào)遞減，得f′（x）≤0即3x²-2tx+3≤0在（a，b）上恒成立，由二次函數(shù)的性質(zhì)可得，即，又對于任意的a∈[1，2]，b-a=1，函數(shù)f（x）在區(qū)間（a，b）上單調(diào)遞減，則不等式組關(guān)于a恒成立，分離出參數(shù)t后轉(zhuǎn)化為函數(shù)最值問題可解決．
解答：解：f′（x）=3x²-2tx+3，
因為f（x）在區(qū)間（a，b）上單調(diào)遞減，
所以f′（x）≤0即3x²-2tx+3≤0在（a，b）上恒成立，
所以有，即，
所以（*），
因為對于任意的a∈[1，2]，f（x）在（a，b）上單調(diào)遞減，所以（*）式恒成立，
又（a=2時取等號），（a=2時取等號），
所以，即t≥5，
故選D．
點評：本題考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性、考查恒成立問題，考查轉(zhuǎn)化思想，考查學(xué)生分析解決問題的能力．