Question

已知函數(shù)f（x）的定義域為R，滿足f（x+2）=f（-x），且當(dāng)x∈[1，+∞）時，f（x）=x，則滿足f（2x）＜f（x）的x的取值范圍是________．

Answer 1

（0，）
分析：由函數(shù)f（x）滿足f（x+2）=f（-x），得到函數(shù)圖象關(guān)于x=1對稱，從而由x∈[1，+∞）時，f（x）=x，得出x∈（-∞，1）時，f（x）的解析式，確定出f（x）在R上的分段函數(shù)解析式，然后由2x小于0，大于0小于1，大于1小于2，大于2，四種情況分類討論分別代入相應(yīng)的函數(shù)解析式中求出f（2x）＜f（x）的解集，即可得到滿足題意的x的范圍．
解答：函數(shù)f（x）的定義域為R，滿足f（x+2）=f（-x），
得到函數(shù)圖象關(guān)于x=1對稱，
又當(dāng)x∈[1，+∞）時，f（x）=x，得到x∈（-∞，1）時，f（x）=-x+2，
∴f（x）=，
①當(dāng)2x＜0，即x＜0時，f（2x）=-2x+2，f（x）=-x+2，
由-2x+2＜-x+2，解得x＞0，矛盾；
②當(dāng)0＜2x≤1，即0＜x≤時，f（2x）=-2x+2，f（x）=-x+2，
f（2x）＜f（x）恒成立；
③當(dāng)2＞2x＞1，即1＞x＞時，f（2x）=2x，f（x）=-x+2，
即要2x＜-x+2，解答x＜；
④當(dāng)2x＞2，即x＞1時，f（2x）=2x，f（x）=x，
即要2x＜x，解得x＜0，矛盾，
綜上，滿足f（2x）＜f（x）的x的取值范圍（0，）．
故答案為：（0，）
點評：此題考查了其他不等式的解法，考查了分類討論的數(shù)學(xué)思想，由f（x+2）=f（-x）得到函數(shù)關(guān)于x=1對稱，根據(jù)x大于等于1時的解析式確定出x小于1時的解析式，從而確定出f（x）在R上的分段函數(shù)解析式是本題的突破點．