Question

已知數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和為S_n，且對(duì)任意正整數(shù)n，都有a_n是n與S_n的等差中項(xiàng)．
（1）求證：數(shù)列{a_n+1}為等比數(shù)列；
（2）求數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和S_n．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)a_n是n與S_n的等差中項(xiàng)，可得2a_n=n+S_n，再寫(xiě)一式，兩式相減，即可證明{a_n+1}是以2為首項(xiàng)，2為公比的等比數(shù)列；
（2）根據(jù)（1）中的結(jié)論，求得數(shù)列的通項(xiàng)，利用求和公式，即可求得結(jié)論．

解答：（1）證明：∵a_n是n與S_n的等差中項(xiàng)，∴2a_n=n+S_n①
于是2a_n-1=n-1+S_n-1（n≥2）②
①-②得a_n=2a_n-1+1（n≥2），即a_n+1=2（a_n-1+1）（n≥2），
當(dāng)n=1時(shí)，2a₁=1+S₁，∴a₁=1，a₁+1=2．
所以{a_n+1}是以2為首項(xiàng)，2為公比的等比數(shù)列．   …（6分）
（2）解：∵an+1=2•2n-1=2n，
∴an=2n-1，
∴Sn=

2(1-2n)

1-2

-n=2n+1-n-2．            …（12分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查等比數(shù)列的證明，考查數(shù)列的求和，解題的關(guān)鍵是證明等比數(shù)列，確定數(shù)列的通項(xiàng)，屬于中檔題．