Question

如圖，已知△AOB，∠AOB＝，∠BAO＝，AB＝4，D為線段AB的中點．若△AOC是△AOB繞直線AO旋轉(zhuǎn)而成的．記二面角B－AO－C的大小為．

（Ⅰ）當平面COD⊥平面AOB時，求的值；

（Ⅱ）當∈[，]時，求二面角C－OD－B的余弦值的取值范圍．

 

Answer 1

【答案】

（Ⅰ）如圖，以O為原點，在平面OBC內(nèi)垂直于OB的直線為x軸，OB，OA所在的直線分別為y軸，z軸建立空間直角坐標系O－xyz，則A (0，0，2)，B (0，2，0)， D (0，1，)，C (2sin，2cos，0)．設＝(x，y，z)為平面COD的一個法向量，

由　得，

取z＝sin，則＝(cos，－sin，sin)．

因為平面AOB的一個法向量為＝(1，0，0)，

由平面COD⊥平面AOB得＝0，

所以cos＝0，即＝．　　　　　　　　　        ………………7分

（Ⅱ）設二面角C－OD－B的大小為，由(Ⅰ)得當＝時， cos＝0；

當∈(，]時，tan≤－，

cos= ＝＝－， 故－≤cos＜0．

綜上，二面角C－OD－B的余弦值的取值范圍為[－，0]．

【解析】（1）平面COD⊥平面AOB，建立坐標系，根據(jù)法向量互相垂直求得；（Ⅱ）求兩個平面的法向量的夾角。