Question

一個(gè)數(shù)字生成器，生成規(guī)則如下：第1次生成一個(gè)數(shù)x，以后每次生成的結(jié)果是將上一次生成的每一個(gè)數(shù)x生成兩個(gè)數(shù)，一個(gè)是-x，另一個(gè)是x+3．設(shè)第n次生成的數(shù)的個(gè)數(shù)為a_n，則數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和S_n=________；若x=1，前n次生成的所有數(shù)中不同的數(shù)的個(gè)數(shù)為T(mén)_n，則T_n=________．

Answer 1

2ⁿ-1    
分析：（1）根據(jù)題意，一個(gè)數(shù)字生成器，生成規(guī)則可得：第1次生成1個(gè)數(shù)，第二次生成2個(gè)數(shù)，第三次生成4個(gè)數(shù)，第四次生成8個(gè)數(shù)…，以此類(lèi)推知該數(shù)列是等比數(shù)列，利用等比數(shù)列求和公式即可求出數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和S_n
（2）因?yàn)橐粋�(gè)數(shù)字生成器，生成規(guī)則如下：第1次生成一個(gè)數(shù)x，以后每次生成的結(jié)果是將上一次生成的每一個(gè)數(shù)x生成兩個(gè)數(shù)，一個(gè)是-x，另一個(gè)是x+3，類(lèi)推可求出數(shù)列的和．
解答：（1）根據(jù)題意，一個(gè)數(shù)字生成器，生成規(guī)則可得：第1次生成1個(gè)數(shù)，第二次生成2個(gè)數(shù)，第三次生成4個(gè)數(shù)，第四次生成8個(gè)數(shù)…，以此類(lèi)推，第n次生成的數(shù)的個(gè)數(shù)為a_n=2^n-1，
顯然，此數(shù)列為首項(xiàng)為1，公比為2的等比數(shù)列．再根據(jù)等比數(shù)列求和公式，則數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和
S_n=2ⁿ-1．
（2）因?yàn)橐粋�(gè)數(shù)字生成器，生成規(guī)則如下：第1次生成一個(gè)數(shù)x，以后每次生成的結(jié)果是將上一次生成的每一個(gè)數(shù)x生成兩個(gè)數(shù)，一個(gè)是-x，另一個(gè)是x+3．
第一次生成的數(shù)為“1”，
第二次生成的數(shù)為“-1、4”，
第三次生成的數(shù)為“1、2、-4、7”，
第四次生成的數(shù)為“-1、4、-2、5、4、-1、-7、10”
…
可觀察出：
第一次生成后前1次所有數(shù)中不同的個(gè)數(shù)為“1”，
第2次生成后前2次所有數(shù)中不同的個(gè)數(shù)為“3”，
第三次生成后前3次所有數(shù)中不同的個(gè)數(shù)為“6”，
第四次生成后前4次所有數(shù)中不同的個(gè)數(shù)為“10”，
…
以此類(lèi)推以后為公差為4的等差數(shù)列．則易得數(shù)中不同的數(shù)的個(gè)數(shù)為T(mén)_n，則T_n=
所以，應(yīng)填上
點(diǎn)評(píng)：本題主要考查數(shù)列求和以及求數(shù)列遞推式的知識(shí)點(diǎn)，主要利用不完全歸納法，不完全歸納法是解決數(shù)列問(wèn)題的常用方法，尤其是在解決選擇題和填空題上．要認(rèn)真觀察分析其特征，然后歸納出規(guī)律，并用通項(xiàng)的代數(shù)式表示，還要注意驗(yàn)證．