Question

已知數(shù)列{a_n}中，a₁=，a_n+1=a_n+（）ⁿ⁺¹（n∈N^*），數(shù)列{b_n}對任何n∈N^*都有b_n=a_n+1-a_n
（1）求證{b_n}為等比數(shù)列；
（2）求{b_n}的通項(xiàng)公式；
（3）設(shè)數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和為S_n，求S_n．

Answer 1

【答案】分析：（1）求證{b_n}為等比數(shù)列，可由等比數(shù)列的定義進(jìn)行證明，由題設(shè)條件b_n=a_n+1-a_n，結(jié)合a₁=，a_n+1=a_n+（）ⁿ⁺¹（n∈N^*），研究{b_n}相鄰兩項(xiàng)的關(guān)系，再由定義得出結(jié)論．
（2）由（1），求出{b_n}的首項(xiàng)，寫出等比數(shù)列的通項(xiàng)公式；
（3）先由b_n=a_n+1-a_n，得到數(shù)列{a_n}的遞推關(guān)系，結(jié)合a_n+1=a_n+（）ⁿ⁺¹（n∈N^*），求出數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式，再求出前n項(xiàng)和，求極限即可．
解答：證明：（1）=-[]=（）=b_n
若b_n=0，則，可得出=，解得a_n=
∴a₁=，不滿足條件，故=，即數(shù)列{b_n}是等比數(shù)列；
（2），∴
（3）=，又
∴-=，∴a_n=-
S_n=3[]-[]
=3×-2×
=-3×+2
∴S_n=2
點(diǎn)評：本題考查求數(shù)列的極限，是數(shù)列中綜合性強(qiáng)難度較大的題，解此類題的關(guān)鍵是充分理解并運(yùn)用題設(shè)中的條件及數(shù)列的相關(guān)的性質(zhì)，求出數(shù)列的通項(xiàng)，數(shù)列的n項(xiàng)和，的表達(dá)式，再根據(jù)極限的運(yùn)算法則，求出數(shù)列的極限，本題考查了推理判斷的能力及構(gòu)造變形的能力，運(yùn)算較繁瑣，易出錯(cuò)．