Question

已知數(shù)列滿足

（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；

（2）設(shè)b= (n∈N，n≥2), b,

       求證：b₁+b₂……+b_n< 3；

（3）設(shè)點(diǎn)M(n,b)((n∈N，n>2)在這些點(diǎn)中是否存在兩個(gè)不同的點(diǎn)同時(shí)在函數(shù)

y =(k>0)的圖象上,如果存在,求出點(diǎn)的坐標(biāo),若不存在,請(qǐng)說明理由.

Answer 1

（1）解法一∵ ∴

       ∴數(shù)列{}是以首項(xiàng)a₁+1，公比為2的等比數(shù)列，即

      

解法二、…………………………①

       …………………………②

       ②－①得

      

        為公比為2，首項(xiàng)為2的等比數(shù)列.

       遞推迭加得

      

   （也可用數(shù)學(xué)歸法證明：）

   （2）b== =

   ≤(n≥2)

       ∴b+b+……+b

       =1+

       n=1時(shí),b₁=1<3 成立, 所以b₁+b₂+……+b_n< 3 .

       假設(shè)有兩個(gè)點(diǎn)A(p,b),B(q,b)(p≠q,p,q∈N*,且P>2,q>2),都在y = 上,

   即_{, ,   ∴}

               _……①  

       以下考查數(shù)列，的增減情況，，

              _{當(dāng)n>2時(shí)，n2 －3n+1>0 ,所以對(duì)于數(shù)列{Cn }有C2>C3>C4>……> Cn >……，}

              _{所以不可能存在p，q使①成立,因而不存在這樣的兩個(gè)點(diǎn).}