Question

已知橢圓C：

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)的一條準線方程為l：x=-

5

2

，且左焦點F到的l距離為

1

2

．
（Ⅰ）求橢圓C的方程；
（Ⅱ）過點F的直線交橢圓C于兩點A、B、交l于點M，若

MA

=λ1

AF

，

MB

=λ2

BF

，證明λ₁+λ₂為定值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）利用準線方程求得a和c的關(guān)系式，左焦點F到的l距離求得a和c的另一關(guān)系式，進而與a²=b²+c²聯(lián)立方程求得a，b，則橢圓的方程可得．
（Ⅱ）先看當斜率為0時，可求得A，B和M的坐標，則λ₁+λ₂可求得；再看當斜率不為0時，可設直線AB方程與橢圓的方程聯(lián)立，求得y₁+y₂和y₁y₂的表達式，分別求得λ₁和λ₂的表達式，則λ₁+λ₂的值可求．

解答：解：（Ⅰ）依題意有

- a2 c =- 5 2 a2 c -c= 1 2 a2=b2+c2

，解方程組得

a2=5 b2=1 c2=4

∴橢圓C的方程為

x2

5

+y²=1．
（Ⅱ）依題意可知直線AB的斜率存在，
當斜率為0時，直線y=0和橢圓交于A（-

5

，0），B（

5

，0），和直線l交于M（-

5

2

，0）點，
則易知λ₁+λ₂=0．
當斜率不為0時，可設直線AB方程為x=my-2（m≠0），
A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），M（-

5

2

，-

1

2m

），由

x=my-2 x2 5 +y2=1

得（m²+5）y²-4my-1=0，
由根與系數(shù)的關(guān)系得y₁+y₂=

4m

m2+5

，y₁y₂=-

1

m2+5

，
又∵

MA

=λ1

AF

∴y₁+

1

2m

=-λ₁y₁，λ₁=-

1

2my1

-1，同理λ₂=-

1

2my2

-1
∴λ₁+λ₂=-2-

1

2m

•

y1+y2

y1y2

=-2-

1

2m

（-4m）=0
∴λ₁+λ₂為定值
綜上所述λ₁+λ₂為定值

點評：本題主要考查了直線與圓錐曲線的關(guān)系．直線與圓錐曲線聯(lián)系在一起的綜合題在高考中多以高檔題、壓軸題出現(xiàn)，平時應作為重點來復習．