如果數(shù)列{an}中的項構(gòu)成新數(shù)列{an+1-kan}是公比為l的等比數(shù)列，則它構(gòu)成的數(shù)列{an+1-lan}是公比為k的等比數(shù)列．已知數(shù)列{an}滿足：a1=
3
5
，a2=
31
100
，且an+1=
1
10
an+(
1
2
)n+1，根據(jù)所給結(jié)論，數(shù)列{an}的通項公式an=
5
2
[(
1
2
)n+1-(
1
10
)n+1]
5
2
[(
1
2
)n+1-(
1
10
)n+1]
．
分析：由an+1=
1
10
an+(
1
2
)n+1及n≥2時，an-
1
10
an-1=(
1
2
)n，兩式相除可判斷數(shù)列{an+1-
1
10
an}是公比為
1
2
的等比數(shù)列，由結(jié)論可知{an+1-
1
2
an}是公比為
1
10
的等比數(shù)列，從而可分別表示出an+1-
1
10
an和an+1-
1
2
an，兩式相減即可求得答案．
解答：解：由an+1=
1
10
an+(
1
2
)n+1，得an+1-
1
10
an=(
1
2
)n+1，
則n≥2時，an-
1
10
an-1=(
1
2
)n，
∴
an+1-
1
10
an
an-
1
10
an-1
=
1
2
（n≥2），
∴數(shù)列{an+1-
1
10
an}是首項為a2-
1
10
a1=
31
100
-
3
50
=
1
4
，公比為
1
2
的等比數(shù)列，
∴an+1-
1
10
an=
1
4
×(
1
2
)n-1=(
1
2
)n+1①，
由所給結(jié)論知，{an+1-
1
2
an}是首項為a2-
1
2
a1=
31
100
-
3
10
=
1
100
，公比為
1
10
的等比數(shù)列，
∴an+1-
1
2
an=
1
100
×(
1
10
)n-1=(
1
10
)n+1②，
①-②，得
2
5
an=(
1
2
)n+1-(
1
10
)n+1，∴an=
5
2
[(
1
2
)n+1-(
1
10
)n+1]，
故答案為：
5
2
[(
1
2
)n+1-(
1
10
)n+1]．
點評：本題考查新定義、由數(shù)列遞推式求數(shù)列通項，考查學(xué)生靈活運用知識分析解決問題的能力．
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

我們知道，如果定義在某區(qū)間上的函數(shù)f（x）滿足對該區(qū)間上的任意兩個數(shù)x1、x2，總有不等式
f(x1)+f(x2)
2
≤f(
x1+x2
2
)成立，則稱函數(shù)f（x）為該區(qū)間上的向上凸函數(shù)（簡稱上凸）．類比上述定義，對于數(shù)列{an}，如果對任意正整數(shù)n，總有不等式：
an+an+2
2
≤an+1成立，則稱數(shù)列{an}為向上凸數(shù)列（簡稱上凸數(shù)列）．現(xiàn)有數(shù)列{an}滿足如下兩個條件：
（1）數(shù)列{an}為上凸數(shù)列，且a1=1，a10=28；
（2）對正整數(shù)n（1≤n＜10，n∈N*），都有|an-bn|≤20，其中bn=n2-6n+10．
則數(shù)列{an}中的第五項a5的取值范圍為
 
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

設(shè)數(shù)列{an}滿足當(dāng)n＞1時，an=
an-1
1+4an-1
，且a1=
1
5
．
（1）求證：數(shù)列{
1
an
}為等差數(shù)列；
（2）試問a1a2是否是數(shù)列{an}中的項．如果是，是第幾項；如果不是，說明理由．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

如果存在常數(shù)a使得數(shù)列{an}滿足：若x是數(shù)列{an}中的一項，則a-x也是數(shù)列{an}中的一項，稱數(shù)列{an}為“兌換數(shù)列”，常數(shù)a是它的“兌換系數(shù)”．
（1）若數(shù)列：1，2，4，m（m＞4）是“兌換系數(shù)”為a的“兌換數(shù)列”，求m和a的值；
（2）若有窮遞增數(shù)列{bn}是“兌換系數(shù)”為a的“兌換數(shù)列”，求證：數(shù)列{bn}的前n項和Sn=
n2
•a；
（3）已知有窮等差數(shù)列{cn}的項數(shù)是n0（n0≥3），所有項之和是B，試判斷數(shù)列{cn}是否是“兌換數(shù)列”？如果是的，給予證明，并用n0和B表示它的“兌換系數(shù)”；如果不是，說明理由．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知：0＜θ＜π，等比數(shù)列{an}中，a2=sinθ+cosθ，a3=1+sin2θ，
m
=(sin2θ，
1
2
)，
n
=(2，3-cos4θ)．
（1）問
m
•
n
是否為數(shù)列{an}中的項？如果是，是第幾項？如果不是，請說明理由．
（2）若等比數(shù)列{an}的公比q滿足|q|＜1，求θ的取值范圍．

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