Question

已知橢圓（a＞b＞0）的離心率為，以原點為圓心，橢圓的短半軸為半徑的圓與直線相切．
（Ⅰ）求橢圓C的方程；
（Ⅱ）設P（4，0），M，N是橢圓C上關于x軸對稱的任意兩個不同的點，連接PN交橢圓C于另一點E，求直線PN的斜率的取值范圍；
（Ⅲ）在（Ⅱ）的條件下，證明直線ME與x軸相交于定點．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）由題意知，所以a²=4b²，由此可知橢圓C的方程為．
（Ⅱ）由題意知直線PN的斜率存在，設直線PN的方程為y=k（x-4）．由題設得（4k²+1）x²-32k²x+64k²-4=0．由此入手可知直線PN的斜率的取值范圍是：．
（Ⅲ）設點N（x₁，y₁），E（x₂，y₂），則M（x₁，-y₁）．直線ME的方程為．令y=0，得．由此入手可知直線ME與x軸相交于定點（1，0）．
解答：解：（Ⅰ）由題意知，
所以，即a²=4b²，∴a=2b
又因為，∴a=2，故橢圓C的方程為．（4分）
（Ⅱ）由題意知直線PN的斜率存在，設直線PN的方程為y=k（x-4）．
由得（4k²+1）x²-32k²x+64k²-4=0．①（6分）
由△=（-32k²）²-4（4k²+1）（64k²-4）＞0，得12k²-1＜0，∴（8分）
又k=0不合題意，所以直線PN的斜率的取值范圍是：．（9分）
（Ⅲ）設點N（x₁，y₁），E（x₂，y₂），則M（x₁，-y₁）．
直線ME的方程為．令y=0，得．（11分）
將y₁=k（x₁-4），y₂=k（x₂-4）代入整理，得．②
由①得，代入②整理，得x=1．（13分）
所以直線ME與x軸相交于定點（1，0）．（14分）
點評：本題考查圓錐曲線的位置關系，解題時要認真審題，仔細解答．