Question

符號(hào)[x]表示不超過x的最大整數(shù)，如[2.5]=3，[-1.1]=-2，定義函數(shù){x}=x-[x]，給出下列四個(gè)命題：
①函數(shù){x}的定義域是R，值域?yàn)閇0，1]；
②方程{x}=有無數(shù)解；
③函數(shù){x}是周期函數(shù)；
④函數(shù){x}是增函數(shù)．
其中真命題的序號(hào)有（ ）
A．②③
B．①④
C．③④
D．②④

Answer 1

【答案】分析：通過舉反例，可得①④不正確，通過x=1.5，2.5，3.5，4.5，…時(shí)，函數(shù){x}的值都是，說明②③正確．
解答：解：①不正確，如x=8.8時(shí)，[x]=8，顯然函數(shù)的值域不是[0，1]．
②正確，由于函數(shù){x}=x-[x]的值域是[0，1），
當(dāng)x=1.5，2.5，3.5，4.5，…時(shí)，都是此方程{x}=的解．
由②知，函數(shù){x}是周期函數(shù)，故③正確．
④不正確，如x=1.5，2.5，3.5，4.5，…時(shí)，函數(shù){x}的值都是，故不是增函數(shù)．
綜上，②③正確，
故選A．
點(diǎn)評：本題考查新定義函數(shù) {x}=x-[x]的意義，通過舉反例來說明某個(gè)命題的正確性，是一種簡單有效的方法．