Question

Answer 1

(1)  當n＝1時，方程x²－a₁x－a₁＝0有一根為S₁－1＝a₁－1，

∴(a₁－1)²－a₁(a₁－1)－a₁＝0，

解得a₁＝......2分

當n＝2時，方程x²－a₂x－a₂＝0有一根為S₂－1＝a₁＋a₂－1＝a₂－，

∴(a₂－)²－a₂(a₂－)－a₂＝0，解得a₂＝.

(2)由題意知(S_n－1)²－a_n(S_n－1)－a_n＝0，

當n≥2時，a_n＝S_n－S_n－1，代入上式整理得

S_nS_n－1－2S_n＋1＝0，解得S_n＝.

由(1)得S₁＝a₁＝，S₂＝a₁＋a₂＝＋＝.

猜想S_n＝ (n∈N^*)．

下面用數學歸納法證明這個結論．

①當n＝1時，結論成立．11分

②假設n＝k(k∈N^*，k≥1)時結論成立，即S_k＝，當n＝k＋1時，

S_k＋1＝＝＝.

即當n＝k＋1時結論成立．

由①②知S_n＝對任意的正整數n都成立．