Question

已知函數(shù)f（x）=lg（x+1），g（x）=2lg（2x+t）（t為參數(shù)）．
（1）寫出函數(shù)f（x）的定義域和值域；
（2）當(dāng)x∈[0，1]時，求函數(shù)g（x）解析式中參數(shù)t的取值范圍；
（3）當(dāng)x∈[0，1]時，如果f（x）≤g（x），求參數(shù)t的取值范圍．

Answer 1

考點：對數(shù)函數(shù)圖象與性質(zhì)的綜合應(yīng)用

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：（1）直接由函數(shù)的解析式，利用對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)，寫出函數(shù)的定義域和值域．
（2）根據(jù)2x+t＞0，x∈[0，1]，求得t的范圍．
（3）由題意可得當(dāng)x∈[0，1]時，

2x+t＞0 x+1 ≤2x+t

，故t≥

x+1

-2x恒成立．令g（x）=

x+1

-2x，利用導(dǎo)數(shù)可得函數(shù)g（x）在[0，1]上是減函數(shù)，求得g（x）的最大值，可得t的范圍．

解答： 解：（1）函數(shù)f（x）=lg（x+1）的定義域為（-1，+∞），值域為R．
（2）∵2x+t＞0，x∈[0，1]，∴t＞0．
（3）∵當(dāng)x∈[0，1]時，f（x）≤g（x），∴

2x+t＞0 x+1 ≤2x+t

，∴t≥

x+1

-2x．
令g（x）=

x+1

-2x，則g′（x）=

1

2 x+1

-2＜0，故函數(shù)g（x）為減函數(shù)，故當(dāng)x=1時，函數(shù)g（x）取得最大值為1，
∴t≥1．

點評：本題主要考查對數(shù)函數(shù)的圖象和性質(zhì)，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，函數(shù)的恒成立問題，體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想，屬于基礎(chǔ)題．