已知橢圓E：
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）的離心率e=
2
2
，在橢圓E上存在A，B兩點(diǎn)關(guān)于直線l：y=x+1對(duì)稱．
（Ⅰ）現(xiàn)給出下列三個(gè)條件：①直線AB恰好經(jīng)過橢圓E的一個(gè)焦點(diǎn)；②橢圓E的右焦點(diǎn)F到直線l的距離為2
2
；③橢圓E的左、右焦點(diǎn)到直線l的距離之比為
1
2
．
試從中選擇一個(gè)條件以確定橢圓E，并求出它的方程；（注：只需選擇一個(gè)方案答題，如果用多種方案答題，則按第一種方案給分）
（Ⅱ）若以AB為直徑的圓恰好經(jīng)過橢圓E的上頂點(diǎn)S，求b的值．
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（Ⅰ）選擇條件②，∵橢圓E：
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）的離心率e=
2
2
，
∴
c
a
=
2
2
，橢圓的右焦點(diǎn)坐標(biāo)為（c，0）
∵右焦點(diǎn)F到直線l的距離為2
2
，
∴
|c+1|
2
=2
2
，
∴c=3，a=3
2

∵a2=b2+c2，
∴b2=9
∴橢圓E的方程為
x2
18
+
y2
9
=1
（Ⅱ）∵離心率e=
2
2

∴a2=2b2
∵A，B兩點(diǎn)關(guān)于直線l：y=x+1對(duì)稱，
∴直線AB的斜率為-1，設(shè)直線AB的方程為y=-x+m，代入橢圓方程
x2
2b2
+
y2
b2
=1得：（3b2）x2-4mb2x+2b2m2-2b4=0
∴△＞0時(shí)，x1+x2=
4m
3
，x1x2=
2 (m2-b2)
3

依題意，設(shè)A（x1，y1），B（x2，y2），
∵橢圓E上存在A，B兩點(diǎn)關(guān)于直線l：y=x+1對(duì)稱，
∴AB的中點(diǎn)（
x1+x2
2
，
y1+y2
2
）在直線：y=x+1上
∵
x1+x2
2
=
2m
3
，
y1+y2
2
=
-(x1+x2)+2m
2
=
m
3
，
∴m=-3
∵橢圓E的上頂點(diǎn)S（0，b），以AB為直徑的圓恰好經(jīng)過橢圓E的上頂點(diǎn)S，即AS⊥BS，即
AS
•
BS
=0，即（-x1，b-y1）•（-x2，b-y2）=0
∴x1x2+（b-y1）（b-y2）=x1x2+y1y2-b（y1+y2）+b2=2x1x2+（b+3）（x1+x2）+9+6b+b2=0
∴
4(9-b2)
3
-4（b+3））+9+6b+b2=0，解得b=9，b=-3（舍去）
∴b=9
練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

如圖，已知橢圓E：
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0），焦點(diǎn)為F1、F2，雙曲線G：x2-y2=m（m＞0）的頂點(diǎn)是該橢圓的焦點(diǎn)，設(shè)P是雙曲線G上異于頂點(diǎn)的任一點(diǎn)，直線PF1、PF2與橢圓的交點(diǎn)分別為A、B和C、D，已知三角形ABF2的周長(zhǎng)等于8
2
，橢圓四個(gè)頂點(diǎn)組成的菱形的面積為8
2
．
（1）求橢圓E與雙曲線G的方程；
（2）設(shè)直線PF1、PF2的斜率分別為k1和k2，探求k1和k2的關(guān)系；
（3）是否存在常數(shù)λ，使得|AB|+|CD|=λ|AB|•|CD|恒成立？若存在，試求出λ的值；若不存在，請(qǐng)說明理由．
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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知橢圓E：
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0），以F1（-c，0）為圓心，以a-c為半徑作圓F1，過點(diǎn)B2（0，b）作圓F1的兩條切線，設(shè)切點(diǎn)為M、N．
（1）若過兩個(gè)切點(diǎn)M、N的直線恰好經(jīng)過點(diǎn)B1（0，-b）時(shí)，求此橢圓的離心率；
（2）若直線MN的斜率為-1，且原點(diǎn)到直線MN的距離為4（
2
-1），求此時(shí)的橢圓方程；
（3）是否存在橢圓E，使得直線MN的斜率k在區(qū)間（-
2
2
，-
3
3
）內(nèi)取值？若存在，求出橢圓E的離心率e的取值范圍；若不存在，請(qǐng)說明理由．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知橢圓E：
x2
a2
+
y2
3
=1（a＞
3
）的離心率e=
1
2
．直線x=t（t＞0）與曲線 E交于不同的兩點(diǎn)M，N，以線段MN 為直徑作圓 C，圓心為 C．
 （1）求橢圓E的方程；
 （2）若圓C與y軸相交于不同的兩點(diǎn)A，B，求△ABC的面積的最大值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

（2012•佛山二模）已知橢圓E：
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)的一個(gè)交點(diǎn)為F1(-
3
，0)，而且過點(diǎn)H(
3
，
1
2
)．
（Ⅰ）求橢圓E的方程；
（Ⅱ）設(shè)橢圓E的上下頂點(diǎn)分別為A1，A2，P是橢圓上異于A1，A2的任一點(diǎn)，直線PA1，PA2分別交x軸于點(diǎn)N，M，若直線OT與過點(diǎn)M，N的圓G相切，切點(diǎn)為T．證明：線段OT的長(zhǎng)為定值，并求出該定值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知橢圓E：
x2
a2
+y2=1（a＞1）的離心率e=
3
2
，直線x=2t（t＞0）與橢圓E交于不同的兩點(diǎn)M、N，以線段MN為直徑作圓C，圓心為C
（Ⅰ）求橢圓E的方程；
（Ⅱ）當(dāng)圓C與y軸相切的時(shí)候，求t的值；
（Ⅲ）若O為坐標(biāo)原點(diǎn)，求△OMN面積的最大值．

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