Question

已知△ABC三內角A、B、C的大小成等差數列，且tanA•tanC=2+，又知頂點C的對邊c上的高等于4，求△ABC的三邊a、b、c及三內角．

Answer 1

【答案】分析：先求得B=60°，再由tanA+tanB+tanC=tanA•tanB•tanC，以及tanA•tanC=2+，求得tanA+tanC的值，從而求得tanA和tanC的值，進而求得A、C的值，由邊c上的高等于4求得a，
再由正弦定理求得b、c的值．
解答：解：由A、B、C成等差數列，可得B=60°，
由△ABC中tanA+tanB+tanC=tanA•tanB•tanC，得 tanA+tanC=tanB（tanA•tanC-1）=（1+）．
設tanA、tanC是方程x²-（+3）x+2+=0的兩根，解得x₁=1，x₂=2+．
設A＜C，則tanA=1，tanC=2+，∴A=，C=．
∵邊c上的高等于4，∴sinB=，∴a=8．
由此利用正弦定理求得b=4，c=4+4．
點評：本題主要考查一元二次方程根與系數的關系，直角三角形中的邊角關系，正弦定理的應用，屬于中檔題．