Question

5．在△ABC中，∠A，∠B，∠C所對(duì)的邊分別是a，b，c，當(dāng)鈍角三角形的三邊a，b，c是三個(gè)連續(xù)整數(shù)時(shí)，則△ABC外接圓的半徑為（　�。�

• A． $\frac{5}{2}$
• B． $\frac{8}{7}\sqrt{7}$
• C． $\frac{{16\sqrt{15}}}{15}$
• D． $\frac{{8\sqrt{15}}}{15}$

Answer 1

分析 由題意設(shè)出鈍角三角形的三邊長(zhǎng)分別為x，x+1，x+2，可得出x+2所對(duì)的角為鈍角，設(shè)為α，利用余弦定理表示出cosα，將設(shè)出的三邊代入，根據(jù)cosα小于0，得出x的范圍，在范圍中找出整數(shù)x的值，確定出三角形的三邊長(zhǎng)，進(jìn)而確定出cosα的值，利用同角三角函數(shù)間的基本關(guān)系求出sinα的值，利用正弦定理即可求出三角形ABC外接圓的半徑．

解答 解：由題意得：鈍角△ABC的三邊分別為x，x+1，x+2，且x+2所對(duì)的角為鈍角α，
由余弦定理得：cosα=$\frac{{x}^{2}+（x+1）^{2}-（x+2）^{2}}{2x（x+1）}$=$\frac{x-3}{2x}$＜0，即x＜3，
可得：x=1或x=2，
當(dāng)x=1時(shí)，三角形三邊分別為1，2，3，不能構(gòu)成三角形，舍去；
當(dāng)x=2時(shí)，三角形三邊長(zhǎng)分別為2，3，4，此時(shí)cosα=-$\frac{1}{4}$，可得：sinα=$\sqrt{1-co{s}^{2}α}$=$\frac{\sqrt{15}}{4}$，
設(shè)△ABC外接圓的半徑為R，根據(jù)正弦定理得：$\frac{4}{\frac{\sqrt{15}}{4}}$=2R，
解得：R=$\frac{8\sqrt{15}}{15}$．
故選：D．

點(diǎn)評(píng) 此題考查了正弦、余弦定理，以及同角三角函數(shù)間的基本關(guān)系，熟練掌握正弦、余弦定理是解本題的關(guān)鍵，屬于基礎(chǔ)題．