Question

已知各項均為正數(shù)的等差數(shù)列{a_n}，其前n項和S_n滿足10S_n=a_n²+5a_n+6；等比數(shù)列{b_n}滿足b₁=a₁，b₂=a₃，b₃=a₁₅；數(shù)列{c_n}滿足c_n=a_nb_n．
（1）求數(shù)列{b_n}的通項公式； 
（2）求數(shù)列{c_n}的前n項和T_n．

Answer 1

【答案】分析：（1）根據(jù)10S_n=a_n²+5a_n+6令n=1可求出首項a₁的值，然后利用遞推關(guān)系可得10S_n-1=a_n-1²+5a_n-1+6（n≥2），兩式相減可得（a_n+a_n-1）（a_n-a_n-1-5）=0，從而得到數(shù)列{a_n}的公差，最后驗(yàn)證討論首項，驗(yàn)證a₁，a₃，a₁₅是否成等比數(shù)列即可，求出數(shù)列{b_n}的通項公式；
（2）由（1）知求出a_n，c_n，T然后根據(jù)通項公式的特征，利用錯位相消法求出數(shù)列{c_n}的前n項和T_n．
解答：解：（1）∵10S_n=a_n²+5a_n+6，①
∴10a₁=a₁²+5a₁+6．
解之，得a₁=2，或a₁=3．…（2分）
又10S_n-1=a_n-1²+5a_n-1+6（n≥2），②
由①-②，得 10a_n=（a_n²-a_n-1²）+5（a_n-a_n-1），即（a_n+a_n-1）（a_n-a_n-1-5）=0．
∵a_n+a_n-1＞0，∴a_n-a_n-1=5（n≥2）．…（5分）
當(dāng)a₁=3時，a₃=13，a₁₅=73．a(chǎn)₁，a₃，a₁₅不成等比數(shù)列，∴a₁≠3．
當(dāng)a₁=2時，a₃=12，a₁₅=72，有 a₃²=a₁a₁₅．…（7分）
∴b₁=a₁=2，b₂=a₃=12，b₃=a₁₅=72；
∴數(shù)列{b_n}是以6為公比，2為首項的等比數(shù)列，b_n=2×6^n-1． …（9分）
（2）由（1）知，a_n=5n-3，c_n=2（5n-3）6^n-1．
∴T_n=2[2+7×6+12×6²+…+（5n-3）6^n-1]，…（11分）
6 T_n=2[2×6+7×6²+12×6³+…+（5n-3）6ⁿ]，
∴-5 T_n=2[5×6+5×6²+…+5×6^n-1]+4-2（5n-3）6ⁿ…（13分）
=+4-2（5n-3）6ⁿ=（8-10n）6ⁿ-8．
T_n=．…（16分）
點(diǎn)評：本題主要考查了等差數(shù)列的通項公式與求和，以及利用錯位相消法求數(shù)列的和，同時考查了計算能力，屬于中檔題．