Question

設正實數(shù)x，y，z滿足x²-3xy+4y²-z=0，則當

xy

z

取得最大值時，

2

x

+

1

y

-

2

z

的最大值為

1

．

Answer 1

分析：由正實數(shù)x，y，z滿足x²-3xy+4y²-z=0，可得z=x²-3xy+4y²．于是

xy

z

=

xy

x2-3xy+4y2

=

1

x y + 4y x -3

，利用基本不等式即可得到最大值，當且僅當x=2y＞0時取等號，此時z=2y²．于是

2

x

+

1

y

-

2

z

=

2

2y

+

1

y

-

2

2y2

=-(

1

y

-1)2+1，再利用二次函數(shù)的單調性即可得出．

解答：解：由正實數(shù)x，y，z滿足x²-3xy+4y²-z=0，∴z=x²-3xy+4y²．
∴

xy

z

=

xy

x2-3xy+4y2

=

1

x y + 4y x -3

≤

1

2 x y • 4y x -3

=1，當且僅當x=2y＞0時取等號，此時z=2y²．
∴

2

x

+

1

y

-

2

z

=

2

2y

+

1

y

-

2

2y2

=-(

1

y

-1)2+1≤1，當且僅當y=1時取等號，即

2

x

+

1

y

-

2

z

的最大值是1．
故答案為1．

點評：熟練掌握基本不等式的性質和二次函數(shù)的單調性是解題的關鍵．