Question

設(shè)x＞1，y＞1且（x-1）（y-1）=2，若x+y≥k恒成立，則實(shí)數(shù)k的取值范圍是

 

．

Answer 1

分析：根據(jù)題意，x+y≥k可變形為（x-1）+（y-1）+2≥k，只需k小于等于（x-1）+（y-1）+2的最小值即可，令t=（x-1）+（y-1）+2，且（x-1）（y-1）=2，則t=（x-1）+

2

x-1

+2，由基本不等式的性質(zhì)，計(jì)算可得答案．

解答：解：根據(jù)題意，x+y≥k可變形為（x-1）+（y-1）+2≥k，
只需k小于等于（x-1）+（y-1）+2的最小值即可，
設(shè)x＞1，y＞1，則（x-1）＞0，（y-1）＞0，
令t=（x-1）+（y-1）+2，且（x-1）（y-1）=2，
則t=（x-1）+

2

x-1

+2≥3+2

2

，
則k≤2+2

2

，
故答案為（-∞，2+2

2

]．

點(diǎn)評(píng)：本題考查基本不等式的性質(zhì)與運(yùn)用，正確運(yùn)用公式要求“一正、二定、三相等”，解本題時(shí)，應(yīng)注意（x-1）、（y-1）的符號(hào)．