已知函數(shù)f(x)=2sin(x+
π
6
)-2cosx．
（Ⅰ）若sinx=
4
5
，x∈[
π
2
，π]，求函數(shù)f（x）的值；
（Ⅱ）求函數(shù)f（x）的最小正周期和值域．
分析：（Ⅰ）利用同角三角函數(shù)的基本關系求出cosx，再利用三角函數(shù)的恒等變換化簡f（x），從而求得結果．
（Ⅱ）根據(jù) f(x)=
3
sinx-cosx=2sin(x-
π
6
)，求出周期和值域．
解答：解：（Ⅰ）∵sinx=
4
5
，x∈[
π
2
，π]，∴cosx=-
3
5
．…（2分）
又f(x)=2(
3
2
sinx+
1
2
cosx)-2cosx…（3分）
=
3
sinx-cosx，…（4分）
∴f(x)=
4
5
3
+
3
5
．…（6分）
（Ⅱ） f(x)=
3
sinx-cosx=2sin(x-
π
6
)，…（8分）
∴T=
2π
|ω|
=2π，…（10分）
∵x∈R，∴-2≤2sin(x-
π
6
)≤2，…（11分）
所以函數(shù)f（x）的最小正周期為2π，值域為[-2，2]．                 …（12分）
點評：本題主要考查同角三角函數(shù)的基本關系，三角函數(shù)的恒等變換及化簡求值，正弦函數(shù)的定義域、值域 及周期性，屬于中檔題．
練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知函數(shù)f(x)=
2-xx+1
；
（1）求出函數(shù)f（x）的對稱中心；
（2）證明：函數(shù)f（x）在（-1，+∞）上為減函數(shù)；
（3）是否存在負數(shù)x0，使得f(x0)=3x0成立，若存在求出x0；若不存在，請說明理由．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知函數(shù)f(x)=
2-x-1，x≤0
x
，x＞0
，則f[f（-2）]=
3
3
．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知函數(shù)f(x)=2(sin2x+
3
2
)cosx-sin3x
（1）求函數(shù)f（x）的值域和最小正周期；
（2）當x∈[0，2π]時，求使f(x)=
3
成立的x的值．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知函數(shù)f(x)=2-
ax+1
(a∈R)的圖象過點（4，-1）
（1）求a的值；
（2）求證：f（x）在其定義域上有且只有一個零點；
（3）若f（x）+mx＞1對一切的正實數(shù)x均成立，求實數(shù)m的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知函數(shù)f(x)=
2-2cosx
+
2-2cos(
2π
3
-x)
，x∈[0，2π]，則當x=
4π
3
4π
3
時，函數(shù)f（x）有最大值，最大值為
2
3
2
3
．

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