Question

已知函數(shù)f（x）=x³+bx²+cx+2
（1）若f（x）在x=1時有極值-1，求b，c的值；
（2）在（1）的條件下，若函數(shù)f（x）的圖象與函數(shù)y=k的圖象恰有三個不同的交點，求實數(shù)k的取值范圍．

Answer 1

考點：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值,利用導(dǎo)數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值

專題：計算題,導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：（1）由題意求導(dǎo)，再令導(dǎo)數(shù)為0，從而解得；
（2）由（1）知 f'（x）=3x²+2x-5，從而列表得到函數(shù)值的取值情況，結(jié)合函數(shù)圖象求解．

解答： 解：（1）f'（x）=3x²+2bx+c，
由已知得 

f(1)=1+b+c+2=-1 f′(1)=3+2b+c=0

，
解得 

b=1 c=-5

經(jīng)驗證，符合題意．
（2）由（1）知  f'（x）=3x²+2x-5，
由f'（x）=0  得  x₁=-

5

3

，x₂=1，
列表如下：

x	(-∞，- 5 3 )	- 5 3	(- 5 3 ，1)	1	（1，+∞）
f'（x）	+	0	-	0	+
f（x）	單調(diào)遞增	極大值	單調(diào)遞減	極小值	單調(diào)遞增

根據(jù)表格，
當(dāng)x=-

5

3

時函數(shù)取得極大值，且極大值為f(-

5

3

)=

229

27

，
當(dāng)x=1時函數(shù)取得極小值，且極小值為f（1）=-1，
所以根據(jù)題意可知-1＜k＜

229

27

；
所以 k的取值范圍是(-1，

229

27

)．

點評：本題考查了導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用，屬于中檔題．