Question

如圖，以原點(diǎn)O為頂點(diǎn)，以y軸為對(duì)稱軸的拋物線E的焦點(diǎn)為F（0，1），點(diǎn)M是直線l：y=m（m＜0）上任意一點(diǎn)，過點(diǎn)M引拋物線E的兩條切線分別交x軸于點(diǎn)S，T，切點(diǎn)分別為B，A．
（I）求拋物線E的方程；
（Ⅱ）求證：點(diǎn)S，T在以FM為直徑的圓上；
（Ⅲ）當(dāng)點(diǎn)M在直線l上移動(dòng)時(shí)，直線AB恒過焦點(diǎn)F，求m的值．

Answer 1

分析：（1）設(shè)拋物線方程為x²=2py，根據(jù)焦點(diǎn)坐標(biāo)可得到

p

2

=1，進(jìn)而得到p的值，從而確定拋物線的方程．
（2）設(shè)點(diǎn)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），然后對(duì)拋物線方程進(jìn)行求導(dǎo)，表示出切線AM的斜率進(jìn)而得到切線方程，然后令y=0可求出T的坐標(biāo)進(jìn)而得到直線FT的斜率，根據(jù)k_AM•k_FT=-1可驗(yàn)證點(diǎn)T在以FM為直徑的圓上；同理可證點(diǎn)S在以FM為直徑的圓上．
（3）根據(jù)拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)，設(shè)斜率為k可得到直線AB的方程，然后與拋物線方程聯(lián)立消去y，得到關(guān)于x的一元二次方程，進(jìn)而可得到兩根之積等于-4，設(shè)點(diǎn)M（x₀，m），切線AM、BM的方程過點(diǎn)M可得到可消去x₀，再由x₁x₂=-4可得m的值．

解答：解：（I）設(shè)拋物線E的方程為x²=2py（p＞0），
依題意

p

2

=1，解得p=2，
所以拋物線E的方程為x²=4y．
（Ⅱ）設(shè)點(diǎn)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）．x₁x₂≠0，否則切線不過點(diǎn)M
∵y=

1

4

x2，y′=

1

2

x，∴切線AM的斜率kAM=

1

2

x1，
方程為y-y1=

1

2

x1(x-x1)，其中y1=

x 2 1

4

.
令y=0，得x=

1

2

x1，點(diǎn)T的坐標(biāo)為(

1

2

x1，0)，
∴直線FT的斜率kFT=-

2

x1

，
∵kAM•kFT=

1

2

x1•(-

2

x1

)=-1，
∴AM⊥FT，即點(diǎn)T在以FM為直徑的圓上；
同理可證點(diǎn)S在以FM為直徑的圓上，
所以S，T在以FM為直徑的圓上．
（Ⅲ）拋物線x²=4y焦點(diǎn)F（0，1），可設(shè)直線AB：y=kx+1．
由

y= 1 4 x2 y=kx+1

得x2-4kx-4=0，
則x₁x₂=-4．
由（Ⅱ）切線AM的方程為y=

1

2

x1x-

1

4

x

2 1

過點(diǎn)M（x₀，m），
得m=

1

2

x1x0-

1

4

x

2 1

，
同理m=

1

2

x2x0-

1

4

x

2 2

.
消去x₀，得m(x1-x2)=

1

4

x1x2(x1-x2)
∵x₁≠x₂，由上x₁x₂=-4
∴m=

1

4

x1x2=-1，即m的值為-1．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程、直線與拋物線的聯(lián)立問題．圓錐曲線經(jīng)常作為壓軸題出現(xiàn)，基礎(chǔ)知識(shí)一定要熟練掌握才能做正確．