在△ABC中，設(shè)向量
m
=(sinA，cosB)，
n
=(sinB，cosA)且
m
∥
n
，
m
≠
n
．
（1）求證：A+B=
π
2
；
（2）求sinA+sinB的取值范圍；
（3）若（sinAsinB）x=sinA+sinB，試確定實數(shù)x的取值范圍．
分析：（1）由題意可得sin2A=sin2B，進而可得A=B，或A+B=
π
2
，經(jīng)驗證可排除A=B；
（2）可得sinA+sinB=sinA+sin（
π
2
-A）=
2
sin（A+
π
4
），由A的范圍逐步可得；
（3）可得x=
sinA+cosA
sinA•cosA
，令sinA+cosA=t∈（1，
2
]，換元后可得關(guān)于t的函數(shù)，由t的范圍可得．
解答：解：（1）∵向量
m
=(sinA，cosB)，
n
=(sinB，cosA)且
m
∥
n
，
∴sinAcosA-sinBcosB=0，即sin2A=sin2B，解得2A=2B或2A+2B=π，
化簡可得A=B，或A+B=
π
2
，但A=B時有
m
=
n
，與已知矛盾，故舍去，
故有A+B=
π
2
；
（2）由（1）可知A+B=
π
2
，故sinA+sinB=sinA+sin（
π
2
-A）
=sinA+cosA=
2
sin（A+
π
4
），
∵0＜A＜
π
2
，∴
π
4
＜A+
π
4
＜
3π
4
，∴1＜
2
sin（A+
π
4
）≤
2

故sinA+sinB的取值范圍是（1，
2
]；
（3）由題意可知x=
sinA+sinB
sinA•sinB
=
sinA+cosA
sinA•cosA
，
設(shè)sinA+cosA=t∈（1，
2
]，則t2=1+2sinAcosA，故sinAcosA=
t2-1
2
，
代入可得x=
t
t2-1
2
=
2t
t2-1
=
2
t-
1
t
≥
2
2
-
1
2
=2
2

故實數(shù)x的取值范圍為：[2
2
，+∞）
點評：本題考查向量的平行和共線，涉及三角函數(shù)的運算，屬基礎(chǔ)題．
練習(xí)冊系列答案
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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：解答題

在△ABC中，設(shè)向量
m
=(sinA，cosB)，
n
=(sinB，cosA)且
m
∥
n
，
m
≠
n
．
（1）求證：A+B=
π
2
；
（2）求sinA+sinB的取值范圍；
（3）若（sinAsinB）x=sinA+sinB，試確定實數(shù)x的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：2012-2013學(xué)年江蘇省南通市高一（上）期末數(shù)學(xué)試卷（解析版） 題型：解答題

在△ABC中，設(shè)向量，且，．
（1）求證：A+B=；
（2）求sinA+sinB的取值范圍；
（3）若（sinAsinB）x=sinA+sinB，試確定實數(shù)x的取值范圍．

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