Question

已知函數(shù)f(x)=

1

5

x5+x3+4x(x∈R)，數(shù)列{an}是等差數(shù)列，a₃＞0，則f（a₁）+f（a₃）+f（a₅）的值（　　）

A．恒為正數(shù)

B．恒為負(fù)數(shù)

C．恒為O

D．可正可負(fù)

Answer 1

分析：由函數(shù)f（x）是R上的奇函數(shù)且是增函數(shù)數(shù)列，f（0）=0，所以當(dāng)x＞0，f（0）＞0，當(dāng)x＜0，f（0）＜0．
再由a₁+a₅=2a₃＞0，所以f（a₁）+f（a₅）＞0，f（a₃）＞0，由此知f（a₁）+f（a₃）+f（a₅）恒為正數(shù)．

解答：解：∵函數(shù)f（x）是R上的奇函數(shù)且是增函數(shù)數(shù)列，∴取任何x₂＞x₁，總有f（x₂）＞f（x₁）．
∵函數(shù)f（x）是R上的奇函數(shù)，∴f（0）=0，
∵函數(shù)f（x）是R上的奇函數(shù)且是增函數(shù)，
∴當(dāng)x＞0，f（0）＞0，當(dāng)x＜0，f（0）＜0．
∵數(shù)列{a_n}是等差數(shù)列，a₁+a₅=2a₃，a₃＞0，∴a₁+a₅＞0，
則f（a₁）+f（a₅）＞0，∵f（a₃）＞0，
∴f（a₁）+f（a₃）+f（a₅）恒為正數(shù)，
故選A．

點(diǎn)評(píng)：本題考查等差數(shù)列的性質(zhì)和應(yīng)用，是中檔題．解題時(shí)要認(rèn)真審題，仔細(xì)解答，注意合理地運(yùn)用函數(shù)的性質(zhì)進(jìn)行解題，屬于中檔題．