Question

已知：函數(shù)f(x)=

x2+4

x

，
（1）求：函數(shù)f（x）的定義域；
（2）判斷函數(shù)f（x）的奇偶性并說明理由；
（3）判斷函數(shù)f（x）在（-∞，-2）上的單調(diào)性，并用定義加以證明．

Answer 1

分析：（1）要是函數(shù)有意義，只要x≠0即可；
（2）由函數(shù)奇偶性的定義，只要判斷f（-x）和f（x）的關(guān)系即可；
（3）由函數(shù)單調(diào)性的定義，在（-∞，-2）上任取兩個自變量，做差比較兩個函數(shù)值的大小即可．

解答：解：（1）定義域：（-∞，0）∪（0，+∞）；
（2）定義域關(guān)于原點對稱，
f(-x)=

(-x)2+4

-x

=-

x2+4

x

=-f(-x)，
則：函數(shù)f（x）是奇函數(shù)；
（3）判斷：函數(shù)f（x）在（-∞，-2）上是增函數(shù)，
證明：任取x₁，x₂∈（-∞，-2）且x₁＜x₂，f(x1)-f(x2)=

x12+4

x1

-

x22+4

x2

=

(x1x2-4)(x1-x2)

x1x2

∵x₁＜x₂＜-2，∴x₁x₂-4＞0，x₁-x₂＜0，x₁x₂＞0，
∴f（x₁）-f（x₂）＜0，即f（x₁）＜f（x₂）
∴函數(shù)f（x）在（-∞，-2）上是增函數(shù)．

點評：本題考查求函數(shù)的定義域問題、函數(shù)單調(diào)性和奇偶性的判斷和證明，屬基本題型、基本方法的考查，難度不大．