Question

設(shè)函數(shù)f（x）=ax³+bx+c（a≠0）為奇函數(shù)，其圖象在點(diǎn)（1，f（1））處的切線(xiàn)與直線(xiàn)x+18y-7=0垂直，導(dǎo)函數(shù)f′（x）的最小值為12．
（1）求a，b，c的值；
（2）設(shè)g(x)=

f(x)

x2

，當(dāng)x＞0時(shí)，求g（x）的最小值．

Answer 1

分析：（1）先根據(jù)函數(shù)f（x）是奇函數(shù)可求出c的值，然后對(duì)函數(shù)f（x）進(jìn)行求導(dǎo)根據(jù)導(dǎo)函數(shù)的最小值等于12可確定b的值，再由導(dǎo)數(shù)的幾何意義可確定a的值．
（2）根據(jù)（1）確定函數(shù)f（x）的解析式，然后代入到函數(shù)g（x）中整理成g（x）=2(x+

6

x

)的形式，根據(jù)基本不等式可求出最小值．

解答：解：（1）∵f（x）為奇函數(shù)，
∴f（-x）=-f（x），即-ax³-bx+c=-ax³-bx-c，∴c=0，
又∵f′（x）=3ax²+b的最小值為12，∴b=12；
又直線(xiàn)x+18y-7=0的斜率為-

1

18

，因此，f'（1）=3a+b=18，∴a=2，
∴a=2，b=12，c=0為所求．
（2）由（1）得f（x）=2x³+12x，∴當(dāng)x＞0時(shí)，g(x)=

f(x)

x2

=2(x+

6

x

)≥2•2

x• 6 x

=4

6

，
∴g（x）的最小值為4

6

．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義和利用基本不等式求函數(shù)的最值的問(wèn)題．求函數(shù)的最值的方法一般有配方法、換元法、導(dǎo)數(shù)法、基本不等式法等，都要掌握．