Question

已知m，n∈R，且m+2n=2，則m•2^m+n•2²ⁿ⁺¹的最小值為    ．

Answer 1

【答案】分析：先根據(jù)等式將n消去，構造函數(shù)f（m）=m•2^m+n•2²ⁿ⁺¹=m•2^m+（2-m）•2^2-m，然后討論m，研究函數(shù)的單調性求出最小值即可．
解答：解：∵2n=2-m
∴f（m）=m•2^m+n•2²ⁿ⁺¹=m•2^m+（2-m）•2^2-m
令g（m）=m•2^m，h（m）=（2-m）•2^2-m
當m≤0時，h（m）為增函數(shù)，且h（m）≥h（0）=8
g（m）=-|m|•2^-|m|由于從y=x與y=2^x的圖象易知，|m|≤2^|m|，所以|m|•2^-|m|≤1，
g（m）=-|m|•2^-|m|≥-1
f（m）=g（m）+h（m）≥-1+8=7
當m≥2時，由g（m）與h（m）關于x=1對稱，同上可得f（m）≥7
當 0＜m＜2時，g（0）=h（2）=0，g（2）=h（0）=8
g'（m）=（mln2+1）2^m＞0，h'（m）=-[（2-m）ln2+1]2^2-m＜0 且g'（m），h'（m）均為單調遞增
當0＜m＜1時，g'（m）＜g'（1）=2（ln2+1），h'（m）＜h（1）=-2（2ln2+1），
f′（m）=g'（m）+h'（m）＜0單調遞減
當1≤m＜2時，同理，可得f′（m）=g'（m）+h'（m）≥g'（1）+h'（1）=0單調遞增（當m=1時等號成立）
所以當m=1時，f（m）取最小值，
即當m=1，n=時，m•2^m+n•2²ⁿ⁺¹的最小值為4
故答案為：4
點評：本題主要考查了利用導數(shù)研究函數(shù)的單調性，同時考查了分類討論的數(shù)學思想和轉化的思想，屬于中檔題．