Question

已知△的兩個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo)分別是，，且所在直線的斜率之積等于．

（1）求頂點(diǎn)的軌跡的方程，并判斷軌跡為何種圓錐曲線；

（2）當(dāng)時(shí)，過點(diǎn)的直線交曲線于兩點(diǎn)，設(shè)點(diǎn)關(guān)于軸的對(duì)稱點(diǎn)為(不重合)， 試問：直線與軸的交點(diǎn)是否是定點(diǎn)？若是，求出定點(diǎn)，若不是，請(qǐng)說明理由.

 

Answer 1

（1）詳見解析；（2）.

【解析】

試題分析：（1）設(shè)出頂點(diǎn)C的坐標(biāo)，由AC，BC所在直線的斜率之積等于m（m≠0）列式整理得到頂點(diǎn)C的軌跡E的方程，然后分m的不同取值范圍判斷軌跡E為何種圓錐曲線；
（2）把代入E得軌跡方程，由題意設(shè)出直線l的方程，和橢圓方程聯(lián)立后利用根與系數(shù)關(guān)系求出M，N兩點(diǎn)的橫坐標(biāo)的和與積，由兩點(diǎn)式寫出直線MQ的方程，取y=0后求出x，結(jié)合根與系數(shù)關(guān)系可求得x=2，則得到直線MQ與x軸的交點(diǎn)是定點(diǎn)，并求出定點(diǎn)．.

試題解析：（1）由題知：

化簡(jiǎn)得： 2分

當(dāng)時(shí) 軌跡表示焦點(diǎn)在軸上的橢圓，且除去兩點(diǎn)；

當(dāng)時(shí) 軌跡表示以為圓心半徑是１的圓，且除去兩點(diǎn)；

當(dāng)時(shí) 軌跡表示焦點(diǎn)在軸上的橢圓，且除去兩點(diǎn)；

當(dāng)時(shí) 軌跡表示焦點(diǎn)在軸上的雙曲線，且除去兩點(diǎn)； 6分

（2）設(shè)

依題直線的斜率存在且不為零，則可設(shè):，

代入整理得

，， 9分

又因?yàn)?/span>不重合，則

的方程為 令，

得

故直線過定點(diǎn). 14分

解二：設(shè)

依題直線的斜率存在且不為零，可設(shè):

代入整理得：

,， 9分

的方程為 令，

得

直線過定點(diǎn) 14分

考點(diǎn)：1.橢圓的簡(jiǎn)單性質(zhì)；2.與直線有關(guān)的動(dòng)點(diǎn)軌跡方程.