Question

如圖，已知四棱錐P-ABCD的底面為等腰梯形，AB∥CD，AC⊥BD，垂足為H，PH是四棱錐的高，E為AD中點(diǎn)
（1）證明：PE⊥BC
（2）若∠APB=∠ADB=60°，求直線PA與平面PEH所成角的正弦值

Answer 1

【答案】分析：以H為原點(diǎn)，HA，HB，HP分別為x，y，z軸，線段HA的長為單位長，建立空間直角坐標(biāo)系．
（1）表示，，計(jì)算，就證明PE⊥BC．
（2）∠APB=∠ADB=60°，求出C，P的坐標(biāo)，再求平面PEH的法向量，
求向量，然后求與面PEH的法向量的數(shù)量積，可求直線PA與平面PEH所成角的正弦值．
解答：解：以H為原點(diǎn)，HA，HB，HP分別為x，y，z軸，線段HA的長為單位長，
建立空間直角坐標(biāo)系如圖，則A（1，0，0），B（0，1，0）
（Ⅰ）設(shè)C（m，0，0），P（0，0，n）（m＜0，n＞0）
則
可得
因?yàn)?img src="http://thumb.1010pic.com/pic6/res/gzsx/web/STSource/20131023212001895363894/SYS201310232120018953638017_DA/7.png">
所以PE⊥BC．

（Ⅱ）由已知條件可得
設(shè)n=（x，y，z）為平面PEH的法向量
則即
因此可以取，
由，
可得
所以直線PA與平面PEH所成角的正弦值為．
點(diǎn)評(píng)：本題主要考查空間幾何體中的位置關(guān)系、線面所成的角等知識(shí)，考查空間想象能力以及利用向量法研究空間的位置關(guān)系以及線面角問題的能力．