Question

若非零函數(shù)f（x）滿足f（x）=f（x-y）•f（y），且x＜0時，f（x）＞1，當(dāng)f（6）=

1

9

時，
（1）求f（3）的值，并證明f（x）＞0．
（2）判斷函數(shù)f（x）的單調(diào)性并證明．
（3）若求使f（3sinx+1）•f（3-sinx）≤

1

3

成立的x的取值范圍．

Answer 1

考點(diǎn)：抽象函數(shù)及其應(yīng)用,函數(shù)單調(diào)性的判斷與證明,函數(shù)單調(diào)性的性質(zhì)

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：（1）根據(jù)抽象函數(shù)，利用賦值法證明f（x）＞0； 再令x=6，y=3，f（3）=

1

3

（2）根據(jù)函數(shù)單調(diào)性的定義證明f（x）為R上的減函數(shù)；
（3）利用函數(shù)單調(diào)性的性質(zhì)，解不等式，以及三角函數(shù)的性質(zhì)即可求出x的范圍．

解答： 解：令y=

x

2

，
則f（x）=f（x-

x

2

）f（

x

2

）=f²（

x

2

），
∵f（x）為非零函數(shù)
∴f（x）＞0．
再令x=6，y=3，
則f（6）=f（6-3）•f（3）=f²（3）=

1

9

，
∴f（3）=

1

3

（2）令x₁＜x₂且x₁，x₂∈R，
∵x＜0時，f（x）＞1，
∴f（x₁-x₂）＞1，
∴f（x₁）=f（x₁-x₂）•f（x₂）＞f（x₂）
∴f（x₁）＞f（x₂）
故f（x）為R上的減函數(shù)．
（3）∵f（3sinx+1）•f（3-sinx）=f（2sinx+4）≤f（3），
∴2sinx+4≥3，
∴sinx≥-

1

2

∴x∈[2kπ-

π

6

，2kπ+

7π

6

]，k∈z

點(diǎn)評：本題主要考查抽象函數(shù)的應(yīng)用，以及函數(shù)單調(diào)性的定義，以及利用函數(shù)的單調(diào)性解不等式，考查學(xué)生的運(yùn)算能力．