Question

給出下列命題：
①y=tanx在定義域上單調(diào)遞增；   
②若銳角α、β滿(mǎn)足cosα＞sinβ，則α+β＜

π

2

；   
③f（x）是定義在[-1，1]上的偶函數(shù)，且在[-1，0]上是增函數(shù)，若θ∈(0，

π

4

)，則f（sinθ）＞f（cosθ）； 
④函數(shù)y=lg（sinx+

sin2x+1

）有無(wú)奇偶性不能確定． 
⑤函數(shù)y=4sin（2x-

π

3

）的一個(gè)對(duì)稱(chēng)中心是（

π

6

，0）； 
⑥方程tanx=sinx在(-

π

2

，

π

2

)上有3個(gè)解；
其中真命題的序號(hào)為

②③⑤⑥

．

Answer 1

分析：由正切函數(shù)的單調(diào)性，可以判斷①真假；根據(jù)正弦函數(shù)的單調(diào)性，結(jié)合誘導(dǎo)公式，可以判斷②的真假；根據(jù)函數(shù)奇偶性與單調(diào)性的綜合應(yīng)用，可以判斷③的真假；根據(jù)函數(shù)奇偶性的定義，及對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)，可判斷④的真假．根據(jù)正弦型函數(shù)的對(duì)稱(chēng)性，我們可以判斷⑤的真假．對(duì)于⑥：要求一個(gè)函數(shù)零點(diǎn)，只要使得這個(gè)函數(shù)等于0，把其中一個(gè)移項(xiàng)，得到兩個(gè)基本初等函數(shù)，在規(guī)定的范圍中畫(huà)出函數(shù)的圖象，看出交點(diǎn)的個(gè)數(shù)．

解答：解：由正切函數(shù)的單調(diào)性可得①“y=tanx在定義域上單調(diào)遞增”為假命題；
若銳角α、β滿(mǎn)足cosα＞sinβ，即sin（

π

2

-α）＞sinβ，即

π

2

-α＞β，則α+β＜

π

2

，故②為真命題；
若f（x）是定義在[-1，1]上的偶函數(shù)，且在[-1，0]上是增函數(shù)，則函數(shù)在[0，1]上為減函數(shù)，若θ∈（0，

π

4

），則0＜sinθ＜cosθ＜1，則f（sinθ）＞f（cosθ），故③為真命題；
函數(shù)y=f（x）=lg（sinx+

sin2x+1

）的定義域?yàn)镽，且f（-x）=lg[sin（-x）+

sin2(-x)+1

）=lg（-sinx+

sin2x+1

），此時(shí)f（x）+f（-x）=0，則函數(shù)y=lg（sinx+

sin2x+1

）為奇函數(shù)，故④錯(cuò)誤；
由函數(shù)y=4sin（2x-

π

3

）的對(duì)稱(chēng)性可得（

π

6

，0）是函數(shù)的一個(gè)對(duì)稱(chēng)中心，故⑤為真命題；
∵f（x）=sinx-tanx=0，∴sinx=tanx，只要看出兩個(gè)曲線(xiàn)在區(qū)間（-

π

2

，

π

2

）上的交點(diǎn)個(gè)數(shù)就可以，
根據(jù)正弦曲線(xiàn)和正切曲線(xiàn)，都是奇函數(shù)，且（0，

π

2

）時(shí)sinx＜tanx，即1個(gè)零點(diǎn)．故⑥正確．
故答案為：②③⑤⑥．

點(diǎn)評(píng)：本題考查的知識(shí)點(diǎn)是命題的真假判斷與應(yīng)用，函數(shù)單調(diào)性的性質(zhì)，偶函數(shù)，正弦函數(shù)的對(duì)稱(chēng)性，是對(duì)函數(shù)性質(zhì)的綜合考查，熟練掌握基本初等函數(shù)的性質(zhì)是解答本題的關(guān)鍵．