Question

設(shè)關(guān)于x的函數(shù)f（x）=mx²﹣（2m²+4m+1）x+（m+2）lnx，其中m為R上的常數(shù)，若函數(shù)f（x）在x=1處取得極大值0．
（1）求實(shí)數(shù)m的值；
（2）若函數(shù)f（x）的圖象與直線y=k有兩個(gè)交點(diǎn)，求實(shí)數(shù)k的取值范圍；
（3）設(shè)函數(shù)，若對(duì)任意的x∈[1，2]，2f（x）≥g（x）+4x﹣2x²恒成立，求實(shí)數(shù)p的取值范圍．

Answer 1

解：（1）=
因?yàn)楹瘮?shù)f（x）在x=1處取得極大值0
所以，
解m=﹣1
（2）由（1）知，
令f '（x）=0得x=1或（舍去）
所以函數(shù)f（x）在區(qū)間（0，1）上單調(diào)遞增，在區(qū)間（1，+∞）上單調(diào)遞減，
所以，當(dāng)x=1時(shí)，函數(shù)f（x）取得最大值，f（1）=ln1﹣1+1=0
當(dāng)x≠1時(shí)，f（x）＜f（1），即f（x）＜0
所以，當(dāng)k＜0時(shí)，函數(shù)f（x）的圖象與直線y=k有兩個(gè)交點(diǎn)，
（3）設(shè)
當(dāng)p=0時(shí)，，F(xiàn)（x）在[1，2]遞增，F(xiàn)（1）=﹣2＜0不成立，（舍）
當(dāng)p≠0時(shí)當(dāng)，即﹣1＜p＜0時(shí)，F(xiàn)（x）在[1，2]遞增，
F（1）=﹣2p﹣2＜0，不成立當(dāng)，即p＜﹣1時(shí)，F(xiàn)（x）在[1，2]遞增，
所以F（1）=﹣2p﹣2≥0，解得p≤﹣1，
所以，此時(shí)p＜﹣1當(dāng)p=﹣1時(shí)，F(xiàn)（x）在[1，2]遞增，成立；
當(dāng)p＞0時(shí)，F(xiàn)（1）=﹣2p﹣2＜0不成立，
綜上，p≤﹣1