已知函數(shù)f(x)=x2-16x+q+3.
(1)若函數(shù)y=f(sinx)在區(qū)間(-∞,+∞)上存在零點,求實數(shù)q的取值范圍;
(2)問:是否存在常數(shù)t(t≥0),當x∈[t,10]時,f(x)的值域為區(qū)間D,且D的長度為12-t.
分析:(1)通過換元利用正弦函數(shù)的單調(diào)性、二次函數(shù)的單調(diào)性、零點的判定定理即可得出;
(2)通過分類討論t與8的大小關(guān)系并利用二次函數(shù)的單調(diào)性即可得出.
解答:解:(1)令t=sinx,則y=f(sinx)化為二次函數(shù)f(t)=t2-16t+q+3,其對稱軸是t=8.
∴函數(shù)f(t)=t2-16t+q+3在區(qū)間[-1,1]上單調(diào)遞減,
∴要函數(shù)f(t)在區(qū)間[-1,1]上存在零點須滿足f(-1)f(1)≤0,
即 (1+16+q+3)(1-16+q+3)≤0,解得-20≤q≤12.
(2)①當
t<8
8-t≥10-8
t≥0
時,即0≤t≤6時,f(x)的值域為:[f(8),f(t)],即[q-61,t2-16t+q+3].
∴t2-16t+q+3-(q-61)=t2-16t+64=12-t,
化為t2-15t+52=0,解得t=
15±
17
2
,經(jīng)檢驗t=
15+
17
2
不合題意舍去,t=
15-
17
2
滿足題意.
②當
t<8
8-t<10-8
t≥0
時,即6≤t<8時,f(x)的值域為:[f(8),f(10)],即[q-61,q-57],
∴q-57-(q-61)=4=12-t,解得t=8.
經(jīng)檢驗t=8不合題意,舍去.
③當t≥8時,f(x)的值域為:[f(t),f(10)],即[t2-16t+q+3,q-57].
∴q-57-(t2-16t+q+3)=-t2+16t-60=12-t,
∴t2-17t+72=0,解得t=8或9.
經(jīng)檢驗t=8,9滿足題意.
所以存在常數(shù)t=8,9,
15-
17
2
(t≥0),當x∈[t,10]時,f(x)的值域為區(qū)間D,且D的長度為12-t.
點評:熟練掌握換元法、正弦函數(shù)的單調(diào)性、二次函數(shù)的單調(diào)性、零點的判定定理、分類討論的思想方法是解題的關(guān)鍵.
練習冊系列答案
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

精英家教網(wǎng)已知函數(shù)f(x)=Asin(ωx+φ)(x∈R,A>0,ω>0,|φ|<
π
2
)的部分圖象如圖所示,則f(x)的解析式是( 。
A、f(x)=2sin(πx+
π
6
)(x∈R)
B、f(x)=2sin(2πx+
π
6
)(x∈R)
C、f(x)=2sin(πx+
π
3
)(x∈R)
D、f(x)=2sin(2πx+
π
3
)(x∈R)

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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

(2012•深圳一模)已知函數(shù)f(x)=
1
3
x3+bx2+cx+d
,設(shè)曲線y=f(x)在與x軸交點處的切線為y=4x-12,f′(x)為f(x)的導函數(shù),且滿足f′(2-x)=f′(x).
(1)求f(x);
(2)設(shè)g(x)=x
f′(x)
 , m>0
,求函數(shù)g(x)在[0,m]上的最大值;
(3)設(shè)h(x)=lnf′(x),若對一切x∈[0,1],不等式h(x+1-t)<h(2x+2)恒成立,求實數(shù)t的取值范圍.

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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

(2011•上海模擬)已知函數(shù)f(x)=(
x
a
-1)2+(
b
x
-1)2,x∈(0,+∞)
,其中0<a<b.
(1)當a=1,b=2時,求f(x)的最小值;
(2)若f(a)≥2m-1對任意0<a<b恒成立,求實數(shù)m的取值范圍;
(3)設(shè)k、c>0,當a=k2,b=(k+c)2時,記f(x)=f1(x);當a=(k+c)2,b=(k+2c)2時,記f(x)=f2(x).
求證:f1(x)+f2(x)>
4c2
k(k+c)

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科目:高中數(shù)學 來源:上海模擬 題型:解答題

已知函數(shù)f(x)=(
x
a
-1)2+(
b
x
-1)2,x∈(0,+∞)
,其中0<a<b.
(1)當a=1,b=2時,求f(x)的最小值;
(2)若f(a)≥2m-1對任意0<a<b恒成立,求實數(shù)m的取值范圍;
(3)設(shè)k、c>0,當a=k2,b=(k+c)2時,記f(x)=f1(x);當a=(k+c)2,b=(k+2c)2時,記f(x)=f2(x).
求證:f1(x)+f2(x)>
4c2
k(k+c)

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已知函數(shù)f(x)=
1
3
x3+bx2+cx+d
,設(shè)曲線y=f(x)在與x軸交點處的切線為y=4x-12,f′(x)為f(x)的導函數(shù),且滿足f′(2-x)=f′(x).
(1)求f(x);
(2)設(shè)g(x)=x
f′(x)
 , m>0
,求函數(shù)g(x)在[0,m]上的最大值;
(3)設(shè)h(x)=lnf′(x),若對一切x∈[0,1],不等式h(x+1-t)<h(2x+2)恒成立,求實數(shù)t的取值范圍.

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