已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn,,且

(Ⅰ)寫出Sn與Sn-1的遞推關(guān)系式(n≥2);

(Ⅱ)求Sn關(guān)于n的表達(dá)式;

(Ⅲ)設(shè),求數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和Tn

答案:
解析:

  解法1:(Ⅰ)由

  

  ∴

  (Ⅱ)由

  

  ∴是首項(xiàng)為1,公差為1的等差數(shù)列,

  故

  ∴

  (Ⅲ)∵

  ∴

  ∴

  ∴………………①

  當(dāng)a=0時(shí),Tn=0;

  當(dāng)a=1時(shí),;

  當(dāng)a≠1時(shí)………………②

  由①-②得

  ;

  ∴

  綜上得

  解法二、

  (Ⅰ)由

  

  

  猜測(cè).用數(shù)學(xué)歸納法證明如下:

  (1)n=1時(shí),猜測(cè)成立;

  (2)假設(shè)n=k時(shí),命題成立,即,則

  

  ∴,即,即n=k+1時(shí)命題也成立.

  綜合(1)、(2)知對(duì)于n∈N*都有

  所以,故

  (Ⅱ),證明見(jiàn)(Ⅰ).

  (Ⅲ)同法一.


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