Question

已知數列{a_n}的前n項和為S_n，，且

(Ⅰ)寫出S_n與S_n－1的遞推關系式(n≥2)；

(Ⅱ)求S_n關于n的表達式；

(Ⅲ)設，求數列{b_n}的前n項和T_n．

Answer 1

答案：
解析：

解法1：(Ⅰ)由及得 　　即 　　∴ 　　(Ⅱ)由得 　　 　　∴是首項為1，公差為1的等差數列， 　　故 　　∴ 　　(Ⅲ)∵ 　　∴ 　　∴ 　　∴………………① 　　當a＝0時，Tn＝0； 　　當a＝1時，； 　　當a≠1時………………② 　　由①－②得 　　； 　　∴ 　　綜上得． 　　解法二、 　　(Ⅰ)由及得 　　 　　 　　猜測．用數學歸納法證明如下： 　　(1)n＝1時，猜測成立； 　　(2)假設n＝k時，命題成立，即，則 　　 　　∴，即，即n＝k＋1時命題也成立． 　　綜合(1)、(2)知對于n∈N*都有 　　所以，故． 　　(Ⅱ)，證明見(Ⅰ)． 　　(Ⅲ)同法一．