設(shè)y=f（x）為定義在區(qū)間I上的函數(shù)，若對I上任意兩個實數(shù)x1，x2都有數(shù)學(xué)公式成立，則f（x）稱為I上的凹函數(shù)．
（1）判斷數(shù)學(xué)公式是否為凹函數(shù)？
（2）已知函數(shù)f2（x）=x|ax-3|（a≠0）為區(qū)間[3，6]上的凹函數(shù)，請直接寫出實數(shù)a的取值范圍（不要求寫出解題過程）；
（3）設(shè)定義在R上的函數(shù)f3（x）滿足對于任意實數(shù)x，y都有f3（x+y）=f3（x）•f3（y）．求證：f3（x）為R上的凹函數(shù)．

解：（1）f（x）是凹函數(shù)，證明如下：
?x1，x2∈（0，+∞），∵==
∴，
∴是凹函數(shù)
（2）∵函數(shù)f2（x）=x|ax-3|=
結(jié)合二次函數(shù)的圖象，要想使函數(shù)f2（x）為區(qū)間[3，6]上的凹函數(shù)，需a＜0或
∴a的取值范圍為（-∞，0）∪[1，+∞）
（3）證明：設(shè)?x1，x2∈R

=
即≥
故f3（x）為R上的凹函數(shù)
分析：（1）因為=，所以利用均值定理即可得證
（2）利用凹函數(shù)的圖象性質(zhì)及函數(shù)f2（x）=x|ax-3|的圖象特點，可得a的取值范圍
（3）因為，利用已知抽象表達式，結(jié)合均值定理即可證明f3（x）為R上的凹函數(shù)
點評：本題考查了抽象函數(shù)表達式的意義和作用，代數(shù)變形和邏輯推理能力，數(shù)形結(jié)合的思想方法
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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

設(shè)y=f（x）是定義在區(qū)間（a，b）（b＞a）上的函數(shù)，若對?x1、x2∈（a，b），都有|f（x1）-f（x2）|≤|x1-x2|，則稱y=f（x）是區(qū)間（a，b）上的平緩函數(shù)．
（1）試證明對?k∈R3，f（x）=x2+kx+14都不是區(qū)間（-1，1）5上的平緩函數(shù)；
（2）若f（x）是定義在實數(shù)集R上的、周期為T=2的平緩函數(shù)，試證明對?x1、x2∈R，|f（x1）-f（x2）|≤1．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

設(shè)y=f（x）是定義在R上的函數(shù)，給定下列三個條件：
（1）y=f（x）是偶函數(shù)；
（2）y=f（x）的圖象關(guān)于直線x=1對稱；
（3）T=2為y=f（x）的一個周期．
如果將上面（1）、（2）、（3）中的任意兩個作為條件，余下一個作為結(jié)論，那么構(gòu)成的三個命題中真命題的個數(shù)有
3
3
個．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

設(shè)y=f（x）為定義在區(qū)間I上的函數(shù)，若對I上任意兩個實數(shù)x1，x2都有f(
x1+x2
2
)≤
1
2
[f(x1)+f(x2)]成立，則f（x）稱為I上的凹函數(shù)．
（1）判斷f(x)=
3
x
(x＞0)是否為凹函數(shù)？
（2）已知函數(shù)f2（x）=x|ax-3|（a≠0）為區(qū)間[3，6]上的凹函數(shù)，請直接寫出實數(shù)a的取值范圍（不要求寫出解題過程）；
（3）設(shè)定義在R上的函數(shù)f3（x）滿足對于任意實數(shù)x，y都有f3（x+y）=f3（x）•f3（y）．求證：f3（x）為R上的凹函數(shù)．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：解答題

設(shè)y=f（x）為定義在區(qū)間I上的函數(shù)，若對I上任意兩個實數(shù)x1，x2都有f(
x1+x2
2
)≤
1
2
[f(x1)+f(x2)]成立，則f（x）稱為I上的凹函數(shù)．
（1）判斷f(x)=
3
x
(x＞0)是否為凹函數(shù)？
（2）已知函數(shù)f2（x）=x|ax-3|（a≠0）為區(qū)間[3，6]上的凹函數(shù)，請直接寫出實數(shù)a的取值范圍（不要求寫出解題過程）；
（3）設(shè)定義在R上的函數(shù)f3（x）滿足對于任意實數(shù)x，y都有f3（x+y）=f3（x）•f3（y）．求證：f3（x）為R上的凹函數(shù)．

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