【題目】如圖1,在中, , , , 分別為, 的中點.將沿折起到的位置,使,如圖2,連結(jié), .
(Ⅰ)求證:平面 平面;
(Ⅱ)若為中點,求直線與平面所成角的正弦值;
(Ⅲ)線段上是否存在一點,使二面角的余弦值為?若存在,求出的值;若不存在,請說明理由.
【答案】(Ⅰ)見解析(Ⅱ)(Ⅲ)
【解析】試題分析:(Ⅰ)因為, 分別為, 中點,所以// .因為,所以.所以.因為,所以.又因為 = ,所以 平面,由此可以證明平面 平面;
(Ⅱ)因為, , ,所以, , 兩兩互相垂直.以為坐標(biāo)原點,建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系,得出平面的一個法向量,
設(shè)直線與平面所成角為,則,即得解.
(Ⅲ)假設(shè)線段上存在一點,使二面角的余弦值為.設(shè), ,得出, , .易得平面的一個法向量為,求出平面的一個法向量,則有,即,解得的值,即得解.
試題解析:
(Ⅰ)證:因為, 分別為, 中點,所以// .
因為,所以.所以.
因為,所以.
又因為 = ,所以 平面.
又因為平面,所以平面 平面.
(Ⅱ)解: 因為, , ,所以, , 兩兩互相垂直.
以為坐標(biāo)原點,建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系,
依題意有, , , , , .
則, , , , , .
設(shè)平面的一個法向量,
則有即令得, .所以.
設(shè)直線與平面所成角為,則.
故直線與平面所成角的正弦值為.
(Ⅲ)解:假設(shè)線段上存在一點,使二面角的余弦值為.
設(shè), ,則,即 .
所以, , .
易得平面的一個法向量為.
設(shè)平面的一個法向量,
則有 即令,則.
若二面角的余弦值為,
則有,即img src="http://thumb.zyjl.cn/questionBank/Upload/2018/09/23/10/f3ee7bee/SYS201809231026007410293450_DA/SYS201809231026007410293450_DA.133.png" width="156" height="69" style="-aw-left-pos:0pt; -aw-rel-hpos:column; -aw-rel-vpos:paragraph; -aw-top-pos:0pt; -aw-wrap-type:inline" />,
解得, , .又因為,所以.
故線段上存在一點,使二面角的余弦值為,且.
科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,在四棱錐PABCD中,AD⊥平面PDC,AD∥BC,PD⊥PB,AD=1,BC=3,CD=4,PD=2.
(1)求異面直線AP與BC所成角的余弦值;
(2)求證:PD⊥平面PBC;
(3)求直線AB與平面PBC所成角的正弦值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】四棱錐P﹣ABCD中,PD⊥底面ABCD,AD∥BC,AC⊥DB,∠CAD=60°,AD=2,PD=1.
(1)證明:AC⊥BP;
(2)求二面角C﹣AP﹣D的平面角的余弦值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】某校從參加高三年級期中考試的學(xué)生中隨機(jī)統(tǒng)計了40名學(xué)生的政治成績,這40名學(xué)生的成績?nèi)吭?/span>40分至100分之間,據(jù)此繪制了如圖所示的樣本頻率分布直方圖.
(1)求成績在[80,90)的學(xué)生人數(shù);
(2)從成績大于等于80分的學(xué)生中隨機(jī)選2名學(xué)生,求至少有1 名學(xué)生成績在[90,100]的概率.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】下列命題:
①對立事件一定是互斥事件;②若A,B為兩個隨機(jī)事件,則P(A∪B)=P(A)+P(B);③若事件A,B,C彼此互斥,則P(A)+P(B)+P(C)=1;④若事件A,B滿足P(A)+P(B)=1,則A與B是對立事件.
其中正確命題的個數(shù)是( )
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】將號碼分別為1、2、…、9的九個小球放入一個袋中,這些小球僅號碼不同,其余完全相同,甲從袋中摸出一個球.其號碼為a,放回后,乙從此袋中再摸出一個球,其號碼為b,則使不等式a-2b+10>0成立的事件發(fā)生的概率等于________.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】有下列說法:
①在殘差圖中,殘差點比較均勻地落在水平的帶狀區(qū)域內(nèi),說明選用的模型比較合適;
②用相關(guān)指數(shù)R2來刻畫回歸的效果,R2值越大,說明模型的擬合效果越好;
③比較兩個模型的擬合效果,可以比較殘差平方和的大小,殘差平方和越小的模型,擬合效果越好.
④在研究氣溫和熱茶銷售杯數(shù)的關(guān)系時,若求得相關(guān)指數(shù)R2≈0.85,則表明氣溫解釋了15%的熱茶銷售杯數(shù)變化.
其中正確命題的個數(shù)是( )
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知數(shù)列{an}滿足a1= ,an+1an=2an+1﹣1(n∈N*),令bn=an﹣1.
(1)求數(shù)列{bn}的通項公式;
(2)令cn= ,求證:c1+c2+…+cn<n+ .
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù)f(x)=2sin(ωx+φ)+1()的最小正周期為π,且.
(1)求ω和φ的值;
(2)函數(shù)f(x)的圖象縱坐標(biāo)不變的情況下向右平移個單位,得到函數(shù)g(x)的圖象,
①求函數(shù)g(x)的單調(diào)增區(qū)間;
②求函數(shù)g(x)在的最大值.
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